2026高一数学同步5.5.1 　第 3 课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 （ 导学案） （解析版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案

1.会由两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们之间的内在联系,达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次.

2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换和数值计算,并能灵活地将公式变形运用,达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质量水平二的层次.

3.通过运用公式进行简单的恒等变换,进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用,达到逻辑推理核心素养学业质量水平三的层次.

教学重点：

1.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式的简单应用.

2.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式的简单应用.

教学难点：

用单角的三角函数表示二倍角的三角函数,倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用.

知识点一二倍角的正弦、余弦、正切公式

记法

公式

S2α

sin2α＝eq\x(\s\up1(01))2sinαcosα

C2α

cos2α＝eq\x(\s\up1(02))cos2α－sin2α

T2α

tan2α＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(2tanα,1－tan2α)

[点拨](1)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．

(2)正切二倍角的范围：α≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)且α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.

知识点二二倍角公式的变形

(1)

(2)sinαcosα＝eq\x(\s\up1(05))eq\f(1,2)sin2α．

(3)1±sin2α＝eq\x(\s\up1(06))(sinα±cosα)2．

[拓展]用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：

(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).

导入1：生活中的“放大”与“倍角”

教师展示一张手机拍照界面：

“同学们，拍照时我们用手指放大画面，其实是将图像的边长变为原来的2倍。那么，如果角度也被‘放大2倍’，它的正弦值、余弦值会如何变化？是不是也简单乘以2呢？”

【设计意图】用“图像放大”类比“角度放大”，直观引出“倍角≠数值×2”的认知冲突。

【教学建议】引导学生猜测sin2α与2sinα的关系，暴露错误直觉。

导入2：建筑中的“对称美”

教师展示天坛祈年殿的俯视图：

“这座建筑的屋顶由多个对称的扇形组成，每个扇形的圆心角是θ，而整个屋顶的圆心角是2θ。工程师需要计算sin2θ来设计弧度，但只能测量sinθ。该如何解决？”

【设计意图】将“倍角公式”置于真实工程问题中，突出其实用价值。

【教学建议】鼓励学生提出“用θ表示2θ”的思路，自然过渡到公式推导。

探究点1：二倍角公式的推导

上一节我们已学习了两角和的正弦、余弦、正切公式,大家回忆一下.

cos

sin

tan

当α=β时,我们能否由此得到sin2α,cos2α,tan2α

以公式为基础，我们已经得到六个和(差)角公式，下面将以和(差)角公式为基础来推导倍角公式

公式的推导.

探究

你能利用，，推导出，，的公式吗？

根据刚才的复习,学生自己动手,把上述公式中的β换成α即可.

(1)sinα

令β=α,得

(2)cosα

令β=α,得

(3)tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ,

通过推导，可以得到：

探究点2：公式的变形应用（升幂与降幂）

2.思考.

把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα形式的式子呢?

cos2α

如果要求二倍角的余弦公式中仅含的正弦(余弦)，那么又可得到：

以上这些公式都叫做倍角公式．倍角公式给出了的三角函数与的三角函数之间的关系．

这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．

归纳

从和(差)角公式、倍