2026高一数学同步5.5.1　第1课时　两角差的余弦公式 （导学案）（解析版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时两角差的余弦公式导学案

1．了解两角差的余弦公式的推导过程．

2．掌握由两角差的余弦公式．

3．会用两角差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．

4．熟悉两角差的余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．

教学重点：

1.能通过三角函数的定义及平面上两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式.

2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行化简、求值．

教学难点：两角差的余弦公式的推导过程．

温故知新

知识点两角差的余弦公式

公式

cos(α－β)＝eq\o(□,\s\up1(01))cosαcosβ＋sinαsinβ

适用条件

公式中的角α，β都是任意角

公式结构

公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反

[点拨](1)可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．

(2)公式中的α，β不仅可以是任意一个角，也可以是几个角的组合．

(3)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．

(4)角变换后使用：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.

引入1：“导航软件怎么知道你和目的地之间的‘方向角’？”

——周末你骑共享单车去同学家，手机导航显示“向东偏北30°方向行驶1km”。如果下个路口是“向南偏东15°”的转弯，你能算出转弯前后的方向差是多少度吗？

设计意图

用“导航方向角”这一每天都在接触的场景，把抽象的“两角差”具象成“车头实际转过的角度”。学生立刻感到“原来公式能帮我把导航里的角度算成一条简单的直线”，从而主动想知道cos(α–β)到底怎么求、怎么用。

引入2：“为什么电影院3D眼镜的镜片要‘歪着’放？’’

——IMAX3D眼镜的两块镜片并不是互相平行，而是各自与镜框成大约45°和45°–15°的夹角。只有算出这两束偏振光之间的“角度差”，才能保证左右眼看到不同的画面，形成立体效果。你知道这个关键角度差是多少吗？

设计意图

把“两角差”嫁接到“看电影”这一娱乐场景，瞬间打破“三角函数离生活很远”的心理壁垒。学生带着“镜片角度差决定3D效果”的悬念走进课堂，自然产生“学会cos(α–β)就能揭开3D眼镜秘密”的学习冲动。

相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽,为了生存把自己脸部用不同的方式勾我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=32,由此我们能否得到cos15°=cos

在三角函数中也有这样的“表演者”,上一节我们学习的差角的余弦公式Cα-β就是这样的“表演者”之一，利用它可以解决许多三角变换问题,给三角运算带来很多方便.但是公式Cα-β在应用中有很大的局限性,遇到差角的正弦、正切,和角的正弦、余弦、正切运算时,公式Cq-β就不能直接应用了

前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和(或差)的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角，那么任意角与的和(或差)的三角函数与，的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题．

ADDINCNKISM.UserStyle1．两角差的余弦公式

探究

如果已知任意角，，能由此推出，的正弦、余弦吗？

下面，我们来探究与角，的正弦、余弦之间的关系．

不妨令．

如图所示,设单位圆与x轴的正半轴相交于点A1,0,以x轴非负半轴为始边作角α,β

问题1:你能根据三角函数的定义,写出点P,A1

提示:P1cosα

问题2:图中弦长AP=A1

提示:连接A1P1,AP,若把扇形OAP绕着点O旋转β角,则点A,P分别与A1,P1重合.根据圆的旋转对称性可知,AP与A1P

问题3:根据两点间距离公式你能得到cosα-β=cosα

提示:可以.

根据两点间距离公式,得cosα-

化简得cosα

问题4:当α=2kπ+βk∈Z时,

提示:成立.

结论:对于任意角α,β有cosα

此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,

此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．

平面上任意两点，间的距离公式不妨令α≠2kπ+β,k

化简得：．

当时，容易证明上式仍然成立．

所以，对于任意角，有

．

【设计意图】通过开门见山，提