第8讲方向导数与梯度.pptVIP

第1页，共22页，星期日，2025年，2月5日回忆一元函数的单侧导数:AC方向导数O第2页，共22页，星期日，2025年，2月5日xOy.P0Pl.第3页，共22页，星期日，2025年，2月5日方向导数与偏导数第4页，共22页，星期日，2025年，2月5日xOyz.P0Pl.第5页，共22页，星期日，2025年，2月5日方向导数的定义设函数在内有定义.若点沿射线l趋于时,极限l方向的方向导数.记为存在,则称该极限值为函数在点处沿第6页，共22页，星期日，2025年，2月5日直线l的方程:则故射线l的方程:第7页，共22页，星期日，2025年，2月5日利用直线方程可将方向导数的定义表示为:第8页，共22页，星期日，2025年，2月5日第9页，共22页，星期日，2025年，2月5日第10页，共22页，星期日，2025年，2月5日若函数在点处可微,则函数在点处沿任一方向的方向导数存在,且其中,各偏导数均为在点处的值.方向导数的计算公式定理第11页，共22页，星期日，2025年，2月5日例解第12页，共22页，星期日，2025年，2月5日由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处的沿各方向的方向导数。此例说明:1.方向导数存在时,偏导数不一定存在.2.可微是方向导数存在的充分条件,而不是必要条件.例第13页，共22页，星期日，2025年，2月5日例解第14页，共22页，星期日，2025年，2月5日第15页，共22页，星期日，2025年，2月5日只与函数在点X0处的偏导数有关.1第16页，共22页，星期日，2025年，2月5日问题：该问题仅在不同时为零才有意义.在给定点沿什么方向增加得最快?可微函数第17页，共22页，星期日，2025年，2月5日且第18页，共22页，星期日，2025年，2月5日定义设则称向量为函数在点处的梯度,记为或梯度第19页，共22页，星期日，2025年，2月5日梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值.第20页，共22页，星期日，2025年，2月5日用图说明定理的证明思想。根据全微分的表达式及方向余弦即可得到定理的结论。函数u及点X给定后，gradu就被确定了。这里说明当e的方向与gradu的方向一致时，函数沿方向e的方向导数值最大。方向导数是梯度在此方向上的投影。该问题就是问方向导数的最大值。由上面的讨论可知，说明均可用向量的数量积表示。