专题06 双曲线（竞赛培优专项训练）（解析版）.docxVIP

专题06双曲线

目录概览

A考点精研?竞赛考点专项攻坚

TOC\o1-3\h\z\u考点一双曲线的定义及应用 5

考点二双曲线的标准方程 7

考点三双曲线中距离的最值问题 9

考点四双曲线的焦点三角形 11

考点五与双曲线有关的点的轨迹 13

考点六双曲线的简单几何性质 14

考点七双曲线的渐近线问题 16

考点八双曲线的离心率问题 18

考点九双曲线的实际应用 21

考点十与双曲线有关的数学文化题 24

考点十一双曲线的光学性质 27

考点十二由直线与双曲线的位置关系求参 29

考点十三中点弦及对称问题 32

考点十四定点、定值问题 35

考点十五最值与参数取值范围问题 39

考点十六双曲线的切线问题 42

考点十七与双曲线有关的新定义题 46

B实战进阶?竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题17道）

【归纳重点知识】

知识点01双曲线的定义

平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零0常数的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合，其中为常数且．

知识点02双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

图形

性质

范围

或

或

对称性

对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点

顶点坐标：，

顶点坐标：，

渐近线

离心率

的关系

实虚轴

线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长

【易错警示】

（1）若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．

（2）设双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为，则，这一条件不能忽略．

①若，则点的轨迹是分别以为端点的两条射线；

②若，则点的轨迹不存在；

③若，则点的轨迹是线段的垂直平分线．

知识点03直线与双曲线的位置关系

将双曲线方程与直线方程联立消去,得到关于的一元二次方程，

(1)当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；

(2)当，即时，设该一元二次方程的判别式为，

若，直线与双曲线相交，有两个公共点；

若，直线与双曲线相切，有一个公共点；

若，直线与双曲线相离，没有公共点；

注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切．

【熟记重要结论(二级结论)】

1．（1）与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。

（2）与有相同焦点的双曲线方程为

（3）与有相同焦点的椭圆方程为：

（4）与有相同焦点的双曲线方程为：

（5）与有相同离心率的双曲线方程为：

①焦点在轴上时：

②焦点在轴上时：

（6）与有相同的渐近线方程为：；

2.双曲线的两焦点分别为,是双曲线上任意一点,则有以下结论成立:

(1);

(2);

双曲线的方程为（a＞0，b＞0）,是双曲线上任意一点,

则有:;

4.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则

(1).

(2)焦点三角形的面积.

5.有关的经典结论

(1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

(2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有

(3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有

(4)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有

6.若在双曲线上，则

（1）以为切点的切线斜率为

（2）过的双曲线的切线方程是.

7.若在双曲线外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

8.双曲线的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

9.过双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC的斜率为定值，（常数）.

10.离心率e==、e2=

11.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为,

12.双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为

13.与双曲线（a＞0，b＞0）有相同渐近线的双曲线方程可设为

14.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为

15.等轴双曲线

（1）定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．

（2）性质：；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．

16．共轭双曲线

（1）定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另