专题01 空间向量及其运算（竞赛培优专项训练）（解析版）.docxVIP

专题01空间向量及其运算

目录概览

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考点一空间向量及其运算 4

考点二空间向量基底的概念 5

考点三空间向量基本定理的应用 8

考点四利用空间向量求数量积最值或范围 9

考点五向量的模长问题 13

考点六向量的夹角问题 15

考点七利用空间向量求点的坐标 18

考点八利用空间向量解决共线问题 20

考点九利用空间向量解决共面问题 21

考点十利用空间向量求异面直线所成的角 23

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【归纳重点知识】

知识点01空间向量的概念

1.空间向量的有关概念

（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；

（2）几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

长度为0的向量叫做零向量，记为

单位向量

模为1的向量称为单位向量

相反向量

与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为

相等向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量

2.空间向量的表示

表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：

（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；

（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.

知识点02空间向量的加法、减法运算

1.空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）

作向量，则向量叫做向量的和．记作，即

空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）

向量叫做与差，记作，即

3.空间向量的加法运算律

（1）加法交换律：

（2）加法结合律：

知识点03空间向量的数乘运算

1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

2：数乘向量与向量的关系

的范围

的方向

的模

与向量的方向相同

，其方向是任意的

与向量的方向相反

注意：当时，；当时，若，则．

知识点04共线向量与共面向量

1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．（特别注意，与任何向量共线）

2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．

拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中

3、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使

拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．

知识点05空间向量的数量积

1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;

2、空间向量数量积的应用

(1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题;

(2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;

3、数量积的运算：

（1），.

（2）(交换律)．

（3）(分配律).

【熟记重要结论】

1．向量三点共线定理

在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．

2．向量四点共面定理

在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．

3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．

(4)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．

考点一空间向量及其运算

1．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量的线性运算即可求解.

【详解】由题意点是的中点，

所以.

故选：B.

2．在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（????）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解.

【详解】如图，，

，

，.

故选：C.

3．在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，且.设，则下列结论正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算可求得，可判断AB；，可判断C；由，可得，进而计算可得，可判断D.

【详解】，故AB错误；

因为，所以，所以不一定等于，故C错误；

因为，所以，所以，

所以，

所以，

所以，故D正确.

故选：D.

4．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（）

①；②③；④．

A．1