专题08 曲线与方程（点的轨迹问题）（竞赛培优专项训练）（解析版）.docxVIP

专题08曲线与方程（点的轨迹问题）

目录概览

A考点精研?竞赛考点专项攻坚

TOC\o1-3\h\z\u考点一曲线方程的概念 3

考点二由方程求曲线的图形 4

考点三由方程研究曲线的性质 6

考点四两曲线的交点问题 12

考点五直接法求轨迹方程 15

考点六定义法求轨迹方程 18

考点七代入法求轨迹方程 21

考点八参数法求轨迹方程 25

考点九交轨法求轨迹方程 26

考点十与立体几何有关的轨迹问题 29

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【归纳重点知识】

知识点01曲线的方程与方程的曲线的定义

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系：

1．曲线上的点的坐标都是方程的解；

2．以方程的解为坐标的点都在曲线上．

则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程．

知识点02两曲线的交点

己知两条曲线和的方程分别为，求两条曲线和的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到．

知识点03：点的轨迹方程

曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程．

知识点04求曲线的方程的一般步骤

1.设：建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；

2.找：找出适合条件的点的集合；

3.列：用坐标表示条件，列出方程；

4.化：化方程为最简形式；

5.证：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

【熟记重要结论(二级结论)】

一、求动点轨迹方程的基本方法

1．直接法．若动点运动过程中量的关系简明，那么直接将此量的关系建系转化为方程即可．多见于距离的和、差、积、商(比)的关系．

2．定义法．若动点运动的几何条件符合某方程为已知的曲线的定义，那么便可先设其标准方程形式，然后运用待定系数法解之．多见于直线和圆锥曲线，它是高考命题热点．

3．几何法．即运用平几中的基本轨迹命题或平面规则图形的某些性质．

4．代入法（相关点法）.常用于解多动点轨迹问题．已知点在已知曲线上，动点随的变化而变化，形成轨迹，把称作主动点，点称作被动点．求动点轨迹方程的＂相关点法（代入法）＂步骤：

（1）设点：的坐标为，点的坐标为；

（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系，用表示；

（3）代入（换）：将代入已知曲线方程，便可得到所求轨迹方程．

5．参数法．动点的流动坐标间不便直接联系时，可考虑选取参数!作桥，先建立参数方程，然后消参得普通方程．

6．交轨法．若动点尸是由两动曲线相交所得，那么可用求两曲线交点的方法解尸的轨迹方程．

二、几种常见曲线的参数方程（拓展）

1.圆的参数方程

若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ))(θ为参数)．

2.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数)．

3.双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,cosθ)，,y＝btanθ))(θ为参数)．

4.抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)．

5.直线的参数方程：经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)．

若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

(1)t0＝eq\f(t1＋t2,2)；

(2)|PM|＝|t0|＝eq\f(t1＋t2,2)；

(3)|AB|＝|t2－t1|；

(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.

考点一曲线方程的概念

1．已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（????）

A．曲线上的点的坐标都满足方程

B．坐标不满足的点都不在曲线上

C．不在曲线上的点的坐标必不满足

D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足

【答案】C

【详解】对ABD，根据题意可以举