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专训3巧用构造法求几种特殊角的三角函数值
名师点金：
对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边
的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角
的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．
巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值
1.求sin15°，cos15°，tan15°的值．
巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值
2.求tan22.5°的值．
巧用折叠法求67.5°角的三角函数值
3.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直
线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC
边上的点F处，求出67.5°角的正切值．
(第3题)
专训3巧用构造法求几种特殊角的三角函数值
名师点金:
对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可以通过定义利用特殊直角三角形三边关
系进行计算；而在实际应用中，我们经常像15°、22.5°、67°、5°等一些特殊角的三角函数
值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形思想进行巧妙计算。
巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值
1.求sin15°,cos15°,tan15°的值。
巧构造22.5°与45°角的关系图形计算22.5°角的三角函数值
2.求tan22.5°的值。
巧用折叠法求67.5°角的三角函数值
ABC67.5°角的正切值。
(第3题)
巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值
4.求sin18°，cos72°的值．
巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值
5.求sin75°，cos75°，tan75°的值．
巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值
4.求sin18°,cos72°的值。
巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值
5.求sin75°,cos75°,tan75°的值。
1.解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA到D，使AD＝
AB，连接BD，则∠D＝15°，设BC＝a，则AB＝2a，AC＝3a，∴AD＝2a，CD＝(2＋
3)a.
在Rt△BCD中，BD＝BC2222
＋CD＝a＋（7＋43）a＝(6＋2)a.
BCa6－
∴sin15°＝sinD＝＝2
BD＝（6＋2）a4；
CD
cos15°＝cosD（2＋3）a＝6＋2
＝＝；
BD（6＋2）a4
BCa
tan15°＝tanD＝＝2－3.
＝
CD（2＋3）a
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