艺考生专题讲义16 三角函数的图象与性质.docxVIP

考点16三角函数的图象与性质

知识梳理

一．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象

定义域

R

R

{x|x≠QUOTE+kπ,k∈Z}

值域

[-1,1]

[-1,1]

R

单调性

在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上单调递增;在[2kπ+,2kπ+]QUOTE(k∈Z)上单调递减

在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减

在(kπ-,kπ+)QUOTE

(k∈Z)上单调递增

最值

x=2kπ+QUOTE(k∈Z)时,ymax=1;

x=2kπ-QUOTE(k∈Z)时,ymin=-1

x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;

x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1

无最值

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

对称性

对称中心(kπ,0)(k∈Z)

对称中心(kπ+,0)(k∈Z)

对称中心(,0)QUOTE(k∈Z)

对称轴l:x=kπ+QUOTE(k∈Z)

对称轴l:x=kπ(k∈Z)

最小正周期

2π

2π

π

二．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

(3)用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

x

eq\f(0－φ,ω)

eq\f(\f(π,2)－φ,ω)

eq\f(π－φ,ω)

eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)

eq\f(2π－φ,ω)

ωx＋φ

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

y＝Asin(ωx＋φ)

0

A

0

－A

0

三．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径

精讲精练

题型一周期

【例1】下列函数中，最小正周期为的是（????）.

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知周期为，周期为，周期为，周期为.

【方法总结】

求三角函数最小正周期的常用方法

公式法：将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，

再利用T＝eq\f(2π,|ω|)求得；y＝Atan(ωx＋φ)＋B,

(2)图象法：利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.

【举一反三】

1．函数的最小正周期为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得函数的最小正周期为

2．下列函数的最小正周期为π的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对于A，函数的最小正周期是，A不符合题意；

对于B，函数的最小正周期是，B符合题意；

对于C，函数的最小正周期是，C不符合题意；

对于D，函数的最小正周期是，D不符合题意.

3．在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（）

A．①③ B．①④

C．③④ D．②③

【答案】D

【解析】①由余弦函数的奇偶性可知，，最小值周期为；

②由翻折变换可知，函数的图象如图：

由图知的最小值周期为；

③由周期公式得，所以的最小值周期为；

④的最小值周期为.

4．函数是（）

A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数

C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数

【答案】D

【解析】因为，所以该函数是周期为2π的偶函数．

题型二对称性

【例2】已知函数，下列结论中错误的是（????）

A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称

C．在上单调递增 D．的值域为[-1，1]

【答案】C

【分析】根据周期公式的计算即可判断A，代入，取最大值，即可判断B,根据整体范围即可验证C,D.

【解析】的最小正周期为,故A正确，当时，，故的图像关于直线对称，B正确，当时，，故C错误，，故D正确.

【方法总结】

【举一反三】

1．函数的一条对称轴是（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，可得，令，可得.

所以函数的一条对称轴是.

2．若函数的图像关于轴对称，则的值可能为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为函数的图像关于轴对称，

所以当时，取得最值，

所以，得，

对于A，若，则，解得，不合题意，

对于B，若，则，解得，不合题意，

对于C，若，则，解得，题意，

对于D，若，则，解得，不合题意，

3．函数的图象（????）

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

【答案】D

【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知