艺考生专题讲义03 常用逻辑用语.docxVIP

考点03常用逻辑用语

知识梳理

1．充分条件与必要条件

(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．

(3)如果pq，qp，那么称p是q的充分不必要条件．

(4)如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件．

(5)如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件．

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称命题

短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“”表示．

含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．

全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．

(2)存在量词与存在性命题

短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示．

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．

存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．

3.含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

x∈M，p(x)

x∈M，p(x)

x∈M，p(x)

x∈M，p(x)

精讲精练

题型一充分必要条件的判断

例1已知，则“”是“”的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当时，“x2”成立，但,故“”，故“x2”不是“”的充分条件，

“”等价于，即能推出，

∴“x2”是“”的必要条件，故“x2”是“”的必要不充分条件，

故选:B.

举一反三

1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()

A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

答案A

解析解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．

2．“1x2”是“x2”成立的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案A

3．设p：x3，q：－1x3，则p是q成立的()

A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

答案C

解析∵x3－1x3，但－1x3?x3，∴p是q的必要不充分条件，故选C.

方法总结1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．

2．充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据pq，qp进行判断；

(2)集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．

题型二充分必要条件的选择

例2．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是()

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】“”为真命题，可得，因为，

故选:D.

举一反三

1．命题“对任意”为真命题的一个充分不必要条件可以是()

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】命题为真命题，则对恒成立

是的真子集是命题为真的充分不必要条件

本题正确选项：

2．若p:，且是的充分不必要条件，则的取值范围是()

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，因为是的充分不必要条件，所以，

故选:A.

3．已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是()

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得或，解得：或，

因为“”是“”的充分不必要条件，所以是或的真子集，可得：.

故选：B

4．已知集合A={x|x5}，集合B={x|xa}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()

A．(-∞，5) B．(-∞，5] C．(5，+∞) D．[5，+∞)

【答案】A

【解析】

【解析】

由题意可知，A?B，又A={x|x5}，B={x|xa}，如图所示，由图可知，a5.

故选：A.

题型三含有一个量词的命题的否定

例3命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是_________________________．

答案任意一个无理数，它的平方不是有理数

解析根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．

举一反三

1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：任意x∈A,2x∈B，则p是________．

答案存在x∈A,2x?B

解析命题p：任意x∈A,2x∈