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2025年绵阳市南山中学初升高自主招生考试数学题及答案（必刷）

一、选择题（每题5分，共25分）

1.已知函数$f(x)=x^22x+1$，则$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：D

解析：因为$f(x)=(x1)^2$，在区间$[0,2]$上，当$x=2$时，$f(x)$取得最大值4。

2.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+n$，则该数列的通项公式为（）

A.$a_n=4n3$

B.$a_n=4n1$

C.$a_n=2n1$

D.$a_n=2n+1$

答案：A

解析：由$S_n=2n^2+n$，得$S_{n1}=2(n1)^2+(n1)$。相减得$a_n=S_nS_{n1}=4n3$。

3.已知正弦函数$y=A\sin(\omegax+\varphi)$的图像经过点$(0,1)$，$(\frac{\pi}{2},0)$和$(\pi,1)$，则$A$、$\omega$、$\varphi$的值分别为（）

A.$A=2,\omega=2,\varphi=\frac{\pi}{2}$

B.$A=2,\omega=1,\varphi=\frac{\pi}{2}$

C.$A=1,\omega=2,\varphi=\frac{\pi}{2}$

D.$A=1,\omega=1,\varphi=\frac{\pi}{2}$

答案：B

解析：由题意得$A=2$，因为函数经过$(0,1)$和$(\pi,1)$，所以$\varphi=\frac{\pi}{2}$。又因为经过$(\frac{\pi}{2},0)$，所以$\omega=1$。

4.若直线$l$：$y=kx+b$与圆$x^2+y^2=1$相切，则$k^2+b^2$的取值范围为（）

A.$k^2+b^2\geq1$

B.$k^2+b^21$

C.$k^2+b^21$

D.$k^2+b^2\leq1$

答案：D

解析：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径。根据点到直线的距离公式，得到$\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解得$k^2+b^2\leq1$。

5.已知三角形$ABC$中，$BC=4$，$AC=3$，$AB=5$，则$\cosA$的值为（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{12}$

D.$\frac{12}{13}$

答案：B

解析：由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2a^2}{2bc}=\frac{3^2+4^25^2}{2\times3\times4}=\frac{4}{5}$。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.已知函数$g(x)=x^33x$，则$g(x)$在$x=1$处的值为________。

答案：0

解析：$g(x)=3x^23$，则$g(1)=3\times1^23=0$。

7.若等比数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n=2^n1$，则该数列的通项公式为________。

答案：$b_n=2^{n1}$

解析：由$T_n=2^n1$，得$T_{n1}=2^{n1}1$。相减得$b_n=T_nT_{n1}=2^{n1}$。

8.已知函数$h(x)=\sqrt{3x2}$，求$h(x)$的定义域为________。

答案：$[\frac{2}{3},+\infty)$

解析：由根号下的表达式非负，得$3x2\geq0$，解得$x\geq\frac{2}{3}$。

9.若直线$m$：$2x+3y6=0$与圆$x^2+y^2=r^2$相切，则圆的半径$r$的取值范围为________。

答案：$r\leq\frac{6}{\sqrt{13}}$

解析：圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，得到$\frac{|6|}{\sqrt{2^2+3^2}}=r$，解得$r\leq\frac{6}{\sqrt{13}}$。

10.已知三角形$DEF$中，$DE=5$，$DF=12$，$EF=13$，则$\sinD$的值为________。

答案：$\frac{5}{