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2025年绵阳市南山中学初升高自主招生考试数学题库及答案

1.题目：已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值。

答案：1

解析：f(x)=x^22x+1可以写成(x1)^2，因为平方的最小值为0，所以f(x)的最小值为1。

2.题目：解方程组：

\[

\begin{cases}

x+2y=3\\

2xy=1

\end{cases}

\]

答案：x=1，y=1

解析：

将第一个方程乘以2，得到：

\[

\begin{cases}

2x+4y=6\\

2xy=1

\end{cases}

\]

将第二个方程从第一个方程中减去，得到：

3y=5

解得y=5/3。将y值代入任意一个方程，例如第一个方程，解得x=1。

3.题目：已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，求该数列的通项公式。

答案：an=2n+3

解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中a1为首项，an为第n项。

由题意得S5=25，a5=15，代入公式得：

25=5/2(a1+15)

解得a1=5。

又因为等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d，其中d为公差。

代入a1=5，a5=15，得：

15=5+4d

解得d=2。

所以通项公式为an=2n+3。

4.题目：已知三角形ABC，BC=6，AC=8，AB=10，求三角形ABC的面积。

答案：24

解析：由题意知三角形ABC是直角三角形，因为满足勾股定理：6^2+8^2=10^2。

直角三角形的面积公式为S=1/2ab，其中a和b为直角边的长度。

代入BC=6，AC=8，得S=1/268=24。

5.题目：已知函数g(x)=|x3|+|x+1|，求函数g(x)的最小值。

答案：4

解析：函数g(x)表示数轴上的点x到点3和1的距离之和。

当x在1和3之间时，g(x)的值为4，这是g(x)的最小值。

6.题目：已知数列{bn}是一个等比数列，b1=2，b4=32，求该数列的公比。

答案：4

解析：等比数列的通项公式为bn=b1q^(n1)，其中q为公比。

由题意得b1=2，b4=32，代入公式得：

32=2q^(41)

解得q=4。

7.题目：求不等式组

\[

\begin{cases}

x+2y4\\

2xy6

\end{cases}

\]

的解集。

答案：{(x,y)|x2,y1}

解析：将不等式组中的每个不等式分别解出y的范围，然后求交集。

对于第一个不等式，得到y(4x)/2。

对于第二个不等式，得到y2x6。

求交集，得到解集为{(x,y)|x2,y1}。

8.题目：已知圆的方程为(x2)^2+(y+1)^2=16，求圆的半径。

答案：4

解析：圆的标准方程为(xa)^2+(yb)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

由题意得圆心坐标为(2,1)，半径r=4。

9.题目：已知正弦函数y=sin(x)在区间[0,2π]上的图像，求该函数在该区间内的最大值和最小值。

答案：最大值为1，最小值为1。

解析：正弦函数在[0,2π]区间内是周期性的，且在该区间内达到最大值1和最小值1。

10.题目：已知复数z=3+4i，求|z|和Arg(z)。

答案：|z|=5，Arg(z)=arctan(4/3)

解析：复数的模长公式为|z|=√(a^2+b^2)，其中a和b分别为复数的实部和虚部。

代入a=3，b=4，得|z|=5。

复数的辐角公式为Arg(z)=arctan(b/a)，其中a和b分别为复数的实部和虚部。

代入a=3，b=4，得Arg(z)=arctan(4/3)。