2025年大学《数理基础科学-抽象代数》考试参考题库及答案解析.docxVIP

2025年大学《数理基础科学-抽象代数》考试参考题库及答案解析?

单位所属部门：________姓名：________考场号：________考生号：________

一、选择题

1.在群G中，下列哪个说法是正确的（）

A.单位元e是唯一的

B.每个元素都有唯一的逆元

C.结合律不一定成立

D.子群一定是G的正规子群

答案：B

解析：群的定义要求存在单位元e，使得对G中任意元素a，都有e·a=a·e=a。结合律是群的基本性质，必须成立。每个元素a都存在唯一的逆元a?1，使得a·a?1=a?1·a=e。子群是群G的非空子集H，满足对任意a,b∈H，都有a·b?1∈H，但子群不一定是正规子群。单位元e是唯一的，这是群的基本性质。故选B。

2.下列哪个集合关于给定的运算构成群（）

A.整数集Z关于普通的加法

B.非零有理数集Q*关于普通的乘法

C.平面上的全体向量关于向量加法

D.n阶非奇异矩阵集合关于矩阵乘法

答案：A

解析：整数集Z关于加法构成群，因为加法满足封闭性、结合律，存在单位元0，每个整数a的逆元是-a。非零有理数集Q*关于乘法也构成群，但选项中未说明乘法运算。平面向量加法满足封闭性、结合律，存在零向量作为单位元，每个向量a的逆元是-a，构成群。n阶非奇异矩阵集合关于乘法不构成群，因为乘法不封闭，非奇异矩阵的乘积仍是非奇异矩阵，但奇异矩阵不在集合内。故选A。

3.循环群G的生成元a的阶等于（）

A.G的阶

B.a的阶

C.G的元素个数

D.a的逆元的阶

答案：A

解析：循环群G由生成元a生成，记作a，包含所有a的幂，即a={a^k|k∈Z}。如果a的阶为m，则a={e,a,a2,...,a^(m-1)}，共m个元素，即G的阶等于a的阶。循环群的阶等于其生成元的阶，也等于群的元素个数。a的逆元的阶等于a的阶。故选A。

4.下列哪个是置换群S?的正规子群（）

A.{e,(12)}

B.{e,(123),(132)}

C.{e,(13)}

D.{e,(23)}

答案：A

解析：S?是对称群，包含所有3阶排列，共6个元素。子群{e,(12)}包含单位元和交换两个元素(12)，共2个元素，是S?的子群。要判断是否正规，需要检查对任意g∈S?和h∈{e,(12)}，都有g·h·g?1∈{e,(12)}。计算发现确实如此，因此是正规子群。子群{e,(123),(132)}是S?本身。子群{e,(13)}和{e,(23)}都不是正规子群。故选A。

5.有限群G的阶为p的素数，则G一定是（）

A.循环群

B.阿贝尔群

C.单群

D.交换群

答案：A

解析：根据有限群的结构定理，阶为素数p的群G必须是循环群，因为存在元素a≠e，使得a=G，且a的阶为p。循环群一定是阿贝尔群，但阿贝尔群不一定是循环群。单群是指没有非平凡正规子群的群，阶为p的群可能有唯一的正规子群即单位元群，不一定是单群。交换群是阿贝尔群的另一种说法。故选A。

6.下列哪个是域的子域（）

A.实数域R的有理数域Q

B.复数域C的实数域R

C.有理数域Q的整数域Z

D.复数域C的有理数域Q

答案：B

解析：实数域R包含有理数域Q，Q是R的子域。复数域C包含实数域R，R是C的子域。整数域Z是有理数域Q的子环，但不是子域，因为Z对除法不封闭。复数域C包含有理数域Q，Q是C的子域。故选B。

7.有限域Fq的元素个数q必须是（）

A.任意正整数

B.任意素数

C.素数的幂

D.任意整数

答案：C

解析：有限域的阶（元素个数）必须是一个素数的幂，即q=p^n，其中p是素数，n是正整数。这是有限域的基本结构定理。q不一定是任意正整数，也不一定是任意素数。例如，不存在6阶有限域。故选C。

8.交换环R的idealsI?和I?的和I?+I?等于（）

A.I?∩I?

B.I?UI?

C.{a+b|a∈I?,b∈I?}

D.I?·I?

答案：C

解析：交换环R的idealsI?和I?的和I?+I?定义为{a+b|a∈I?,b∈I?}，这是包含I?和I?的最小ideals。I?∩I?是I?和I?的交，I?UI?是它们的并集，不是ideals。I?·I?