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2025学年第一学期期中教学质量检测

高一数学试卷

考试时间：90分钟

一,填空题（共36分,每题3分）

1．已知集合,且,则实数的值为．

2．若要用反证法证明“对于三个实数,,,若,则或”,应假设．

3．若时,指数函数的值总大于1,则实数a的取值范围是.

4．设且关于与的二元一次方程组有无穷多组解集,则的值为.

5．设全集是实数集,或,,则图中阴影部分所表示的集合是．

6．设,,则可用含有,的代数式表示为.

7．已知为常数,若不等式的解集为,则不等式的解集为.

8．关于的不等式的解集为.

9．将（其中）化为有理数指数幂的形式为.

10．已知关于的一元二次方程,若方程有两个大于1的实根,则的取值范围是.

11．已知幂函数在上单调递减,若正数满足,求的最小值.

12．若直角坐标平面内两点,满足条件：①,都在函数的图像上,②,关于原点对称.则称是关于函数的一个“伙伴点组”（点组和点组看作同一个“伙伴点组”）,则下列函数中,恰有两个“伙伴点组”的函数是：.（填写所有正确的序号）

①②③④

二,单选题（共12分,每题3分）

13．已知命题“若,则”是真命题,集合满足,集合满足.下列判断正确的是（???）

A． B． C． D．

14．已知,且,,则是的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

15．根据“幂的基本不等式：当时,”,对于下列命题：

①若,存在,使得,②若,对任意,满足．

下列说法正确的为（????）

A．①真②假 B．①假②真 C．①②都假 D．①②都真

16．对任意给定的实数a,b,有,且等号当且仅当（????）成立．

A． B． C． D．

三,解答题（共52分,17-20每题10分,21题12分）

17．已知集合,,,.

(1)求.

(2)求.

18．（1）设,均为正实数,试比较和的大小.

（2）已知,为实数,求证：,并指出等号成立的条件.

19．上海市某非遗剪纸传承人传承海派剪纸技艺,主打款“传统福字剪纸”和款“外滩建筑剪纸”．已知制作1幅款剪纸的材料成本为12元,制作1幅款剪纸的材料成本为18元,每天用于两款剪纸的材料总成本固定为144元,且制作每款剪纸的数量均为正整数．

(1)设每天制作款剪纸幅,款剪纸幅,求的最大值,并说明此时,的取值.

(2)若款剪纸每幅可获利润20元,款剪纸每幅可获利润28元,在（1）的成本约束下,每天如何安排制作数量,才能使总利润最大？最大总利润是多少元？

20．已知函数的图象经过点和,幂函数过点.

(1)求和的值及的解析式.

(2)解关于的方程.

21．对于一个所有元素均为整数的非空集合,和一个给定的正整数,定义集合.

(1)若,直接写出集合和.

(2)若,其中（为正整数集）,,直接写出使得集合中元素个数最少的一个（用表示）.

(3)若,和都是正整数,集合,求出使得成立的所有和的值,并说明理由.

1．3

【分析】因为,则或,由此可解出,再代入集合验证,需要满足集合的互异性,由此可得答案.

【详解】因为,所以分为以下两种情况：

①或,当时,集合满足题意.

当时,集合,违反了集合的互异性,故舍去.

②,此时集合,违反了集合的互异性,故舍去.

综上所述,.

故答案为：3.

2．且成立

【分析】假设结论的反面成立,即可求解．

【详解】解：假设结论的反面成立,即且成立．

故答案为：且成立．

3．

【分析】直接根据指数函数的性质得答案.

【详解】由指数函数的性质可得

解得

故答案为：

4．

【分析】由题意可知有无穷多组解集,进而求解.

【详解】由可得.

由题意可知有无穷多组解集,即,所以

故答案为：.

5．

【分析】由图可知,阴影部分为,根据补集运算求出,再根据交集运算,即可求出结果.

【详解】由图可知,阴影部分为.

∵或,∴

∴．.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了集合的交集,补集运算,以及图得应用,属于基础题.

6．

【分析】根据换底公式,结合对数的运算性质及指数和对数的互换即可求解.

【详解】因为,得.

所以.

所以.

故答案为：.

7．

【分析】根据方程的根,函数的定义域与不等式的解集区间端点间的关系,可得满足的方程,代入求解新不等式即可.

【详解】因为不等式的解集为.

所以,且.

由可得,即.

所以不等式的解集为.

故答案为：.

8．

【分析】去绝对值分类讨论即可解出不等式.

【详解】当时,原不等式化简为,解得,又因为,则无实数解.

当时,原不等式化简为,解得,又因为,所以.

当时,原不等式化简为