2025-2026学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷含详解.docxVIP

七宝中学2025-2026学年第一学期高一年级期中考试

数学试卷

一?填空题（共12小题,共54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知全集,集合,则.

2．函数的定义域为.

3．已知常数且,则函数必过定点.

4．.

5．若,则的取值范围是.

6．设,则方程的解集为.

7．用有理数指数幂表示（其中）：.

8．已知集合,若有且只有一个非空子集,则实数.

9．已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为,则它在区间上的最大值和最小值之和为.

10．已知幂函数在上是严格减函数,则不等式的解集是.

11．已知实数满足,则的值为.

12．已知表示中最大的数,若,则的最小值为.

二?选择题（共4小题,共18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）

13．设是实数,“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．下列选项中,是的函数的是（????）

A．

B．

C．??

D．

1

2

1

3

1

2

3

4

15．已知,则函数与的图像可能是（????）

A． B．

C． D．

16．设集合,集合,若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方,则称为“人文集”.当能被分成两个交集为空集的“人文集”,且这两个“人文集”的并集恰为时,的最大值是（????）

A．13 B．14 C．15 D．16

三.解答题（共5小题,共78分）

17．已知集合,集合.

(1)若,求.

(2)若,求实数的取值范围.

18．已知不等式①,②,其中是实数.

(1)若1是不等式②的一个解,求实数的取值范围.

(2)证明：不等式①?②中至多有一个恒成立.

19．为帮助同学们更合理地安排课余时间,高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中,学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况,以此量化学习效率的变化情况.研究发现,运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段,注意力恢复速度较快,但随着运动时长增加,恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟,）,相对“未运动状态”的注意力恢复效果为,则当运动时长（即未运动）时,（表示恢复效果与未运动时一致）.

以下是调研收集到的部分数据：

0

10

30

1

1.5

1.7

(1)请从以下三个函数模型中,选择最符合上述规律的模型,并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①,②,③.

(2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00,曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率,所以他们商量轮流使用篮球场,请用（1）的函数模型解释,若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上,则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟）

20．柯西是一位伟大的法国数学家,许多数学定理和结论都以他的名字命名,柯西不等式就是其中之一,它在数学的众多分支中有精彩应用,维柯西分式型不等式为：若,为正实数,则,当且仅当时等号成立.若都是正实数,且.

(1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件,（提示：即证）

(2)请写出3维柯西分式型不等式,并利用该不等式,求的最小值.

(3)证明：.

21．已知函数,若对于定义域内任意实数,不等式都成立,则称函数是QB函数.

(1)判断狄利克雷函数是否是QB函数,并说明理由.

(2)若函数是QB函数,求实数的取值范围.

(3)已知函数且,证明：“函数是QB函数”的充要条件是“”.

1．

【分析】根据集合补集的概念,求出结果即可.

【详解】由题意知.

故答案为：.

2．

【分析】根据具体函数定义域求法,求出结果即可.

【详解】由题意得,解得,即函数定义域为.

故答案为：.

3．

【分析】根据指数函数的性质,求出函数所过定点坐标即可.

【详解】当,即时,,所以函数必过定点.

故答案为：.

4．3

【分析】利用换底公式及其对数运算法则求解即可.

【详解】

故答案为：.

5．区间

【分析】应用不等式的性质计算求解.

【详解】因为,则.

故答案为：.

6．

【分析】根据给定条件,利用绝对值的三角不等式求解即得.

【详解】依题意,.

当且仅当,即时取等号.

所以方程的解集为.

故答案为：

7．

【分析】根据有理数指数幂,求出结果即可.

【详解】由题意得.

故答案为：.

8．4或

【分析】根据集合非空子集的个数,判断集合中元素的个数,进而根据判别式求出参数值.

【详解】集合有且只有一个非空子集,则集合中只有一个元素,即方程只有一个解