2025-2026学年上海市建平中学高一上学期11月期中数学试卷含详解.docxVIP

建平中学2025学年第一学期期中教学质量检测

高一数学试卷

一,填空题：本题共12小题,每小题3分,共36分.

1．用分数指数幂表示：.

2．函数的定义域为.

3．已知实数,,“且”的否定是.

4．函数图象的对称中心为.

5．已知集合,,则.

6．不等式的解集是．

7．已知,用表示为．

8．已知方程有两个实数根,,满足,则实数的值为．

9．函数的图象恒过定点.

10．已知写出不等式等号成立的所有条件

11．我国的5G通信技术领先世界,5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式,香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中,计算最大信息传送速率的公式,其中是信道带宽（赫兹）,是信道内所传信号的平均功率（瓦）,是信道内部的高斯噪声功率（瓦）,其中叫做信噪比.根据此公式,在不改变的前提下,将信噪比从99提升至,使得大约增加了50%,则的值大约为.

12．已知正数,满足,则的最大值是．

二,选择题：本题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.

13．若且,将指数式转化为对数式为（????）

A． B． C． D．

14．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取,2四个值,则与曲线相应的a依次为（???）

A． B． C． D．

15．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足,,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称为戴德金分割试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,可能成立的是（????）

A．M没有最大元素,N有一个最小元素

B．M没有最大元素,N也没有最小元素

C．M有一个最大元素,N有一个最小元素

D．M有一个最大元素,N没有最小元素

16．设集合,,,,其中,,下列说法正确的是（???）

A．存在,不是的子集,存在,使得是的子集

B．存在,不是的子集,对任意,不是的子集

C．对任意,是的子集,对任意,不是的子集

D．对任意,是的子集,存在,使得是的子集

三,解答题：本题共5小题,共52分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17．已知,都是正实数,证明：.

18．已知集合,集合,命题,命题．

(1)当实数为何值时,.

(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围．

19．某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室,占地面积为平方米.现需要对母婴室三面外墙进行装修.其中外墙正面进行带有游乐场主题特色的装修,因此外墙正面每平方米造价为元,外墙两个侧面普通装修即可,因此外墙侧面每平方米造价元,母婴室墙高米.若游乐场母婴室正面长设为米,该游乐场母婴室的外墙正面和侧面装修的总造价为（元）,请问如何设计能使得总造价最低？总造价最低为多少？

20．已知幂函数在上为严格增函数.

(1)求的解析式.

(2)若关于的不等式的解集中有且仅有个整数,求实数的范围.

(3)若对任意实数都成立,求实数的取值范围.

21．对于集合,其中,如果任意去掉其中一个元素之后,剩余的所有元素组成的集合都能分成两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等就称集合为“可调和集合”.

(1)判断集合和是否为“可调和集合”（不必写过程）.

(2)求证：集合,其中不是“可调和集合”.

(3)若集合,其中是“可调和集合”.

①证明：为奇数.

②求集合中元素个数的最小值.

1．

【分析】根据分数指数幂运算法则求解即可．

【详解】原式．

故答案为：．

2．

【分析】由函数定义域的概念列出不等式求解即可.

【详解】由解析式得：.

解得且.

所以定义域为.

故答案为：

3．或

【分析】根据“且”的否定为“或”可得出结论.

【详解】已知实数,,“且”的否定是“或”.

故答案为：或.

4．

【分析】利用函数对称性的定义可得出结果.

【详解】设,该函数的定义域为.

因为.

故函数图象的对称中心为.

故答案为：.

5．

【分析】先解分式不等式明确集合,再根据交集的概念求解.

【详解】由,所以.

所以.

故答案为：

6．

【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可．

【详解】在上单调递减,.

,解得.

所以不等式的解集是．

故答案为：．

7．

【解析】由指数与对数运算的关系可得,再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可得解.

【详解】由题意,.

利用换底公式得：.

.

所以.

故答案为：.