2025-2026学年上海市复旦中学高二上学期期中数学试卷含详解.docxVIP

2025年复旦中学高二上学期期中考

2025.11.10

一,填空题（1-6每小题4分,7-12每小题5分,共54分）

1．集合,,则.

2．“直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”条件.(填“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分也不必要条件”)

3．已知球的半径为,一个平面截球所得截面圆的半径为,则截面圆的圆心与球心之间的距离为

4．若与的两边分别平行,且,则.

5．,,与垂直,则实数的值为.

6．已知,为单位向量,它们的夹角为,则在上的数量投影为.

7．如图所示,已知,在与的交线上取线段,且AC,BD分别在平面和平面内,它们都垂直于交线AB,并且,则线段CD的长为．

??

8．如图,攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构,宋代称为撮尖,清代称为攒尖,通常有圆形攒尖,三角形攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,某个园林建筑为六角攒尖,它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥,若此正六棱锥高为1,且侧棱长为,则棱锥侧面积为.

9．点,,,则点到直线的距离为.

10．已知是边长为的正方形,点在平面外,侧棱,,则该几何体的5个面中,互相垂直的面有对

11．如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,动点沿着线段从点移动到点,给出下列四个结论：

①可能是钝角,②直线与直线为异面直线.

③,④三棱锥体积为定值.

其中所有正确结论的序号是.

12．已知正方体的棱长为2,点在正方体的内切球表面上运动,且满足平面,则的最大值为.

二,选择题（13-14每小题4分,15-16每小题6分,共18分）

13．当我们停放自行车时,只要将自行车旁的撑脚放下,自行车就稳了,这用到了（????）

A．三点确定一平面 B．不共线三点确定一平面

C．两条相交直线确定一平面 D．两条平行直线确定一平面

14．已知,,是空间三个不共面的向量,有如下三组向量：①,,,②,,,③,,,其中能够成为空间向量的基底的组数是（???）

A．0 B．1 C．2 D．3

15．下列命题中的假命题为（???）

A．没有公共点的两平面平行

B．已知平面,,直线,若,且,则

C．已知平面,,直线,,若,,且与不平行,,则与异面

D．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交

16．已知正方体的棱长为1,点满足,其中,,,则下列说法错误的个数是（???）

①当,,时,平面.

②当,时,异面直线与所成的角为.

③当,时,.

④当时,线段的长度最小值为.

A．0 B．1 C．2 D．3

三,解答题（共78分）

17．已知是等差数列的前项和,,.

(1)求数列的通项公式.

(2)若,求的最小值.

18．已知函数,点,是图象上的两点．

(1)求,的值.

(2)判断函数的奇偶性,并说明理由．

19．如图,在长方体中,,,为的中点．

(1)求证：平面.

(2)求二面角的正弦值．

20．三阶行列式是解决复杂代数运算的算法,其运算法则如下所示：

.

若,则称为空间向量与的叉乘,其中（）,（）,为单位正交基底：以为坐标原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系：已知,是空间直角坐标系中异于的两点：

(1)若,：

①求与的数量积.

②根据题中的定义,求.

(2)化简：.

(3)记的面积为,证明：.

21．如图1,在中,,,是线段上一点,且⊥,将沿着翻折至,得到如图2所示的三棱锥,记二面角的大小为.

??

(1)求的长度.

(2)当时,求直线与平面所成角的正切值.

(3)当时,在翻折的过程中：

①求点的运动轨迹的长度.

②求线段长的取值范围.

1．

【分析】由集合的交集运算即可求解.

【详解】,.

.

故答案为：

2．充分不必要

【分析】根据线面垂直的定义及充分条件,必要条件的定义判断即可.

【详解】若直线与平面垂直,由线面垂直的定义知直线垂直于平面内所有直线.

故直线垂直于平面内无数条直线故充分性成立.

但是当直线垂直于平面内无数条直线时,若这些直线平行,则直线与平面不一定垂直,故必要性不成立.

所以“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要

3．

【分析】根据直接求值.

【详解】已知球的半径,截面圆的半径为.

所以截面圆的圆心与球心的距离为：（）.

故答案为：

4．或

【分析】两角的两边分别平行时,两角相等或互补

【详解】

当两角的两边分别平行时,两角相等或互补,如图所示,角B为或

故答案为：或

5．7

【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示,空间向量垂直的坐标表示列式求解即可.

【详解】向量,.

则.

由向量与垂直