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中考相似三角形专题复习

相似三角形作为平面几何的核心内容之一，在中考中占据着举足轻重的地位。它不仅是对三角形全等知识的延伸与深化，更是解决几何计算、证明以及综合应用题的重要工具。本专题将带你系统梳理相似三角形的核心知识，剖析常见题型，提炼解题方法，助你在中考中从容应对这一考点。

一、相似三角形的核心知识梳理

要熟练掌握相似三角形，首先必须吃透其定义、判定与性质，这是解决一切相关问题的基础。

（一）相似三角形的定义

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

关键点：

*对应角相等；

*对应边成比例；

*相似比是有顺序的。

（二）相似三角形的判定定理

判定两个三角形相似，是解决相似问题的第一步，必须熟练掌握以下判定方法：

1.定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（不常用，但最基本）

2.平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（“A”型与“X”型的基础）

3.判定定理1（AA或AAA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

*内核揭示：三角形内角和为180°，所以两个角对应相等，则第三个角必然相等。此定理应用最为广泛，要善于从图形中寻找等角。

4.判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

*内核揭示：“夹”角相等是关键，若不是夹角，即使两边成比例，也不一定相似。

5.判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

温馨提示：在具体题目中，要根据已知条件灵活选择判定方法。公共角、对顶角、平行线间的同位角、内错角，以及同角（等角）的余角或补角相等，都是寻找等角的重要途径。

（三）相似三角形的性质

相似三角形的性质是解决与比例线段、角度计算、面积相关问题的依据：

1.对应角相等；

2.对应边成比例；

3.对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；

4.周长的比等于相似比；

5.面积的比等于相似比的平方。

特别注意：面积比是相似比的平方，这个关系在解题时极易混淆，务必牢记。

（四）常见的相似三角形模型

掌握一些经典的相似模型，能帮助我们在复杂图形中快速识别相似三角形，找到解题突破口。

1.“A”型相似：如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC。（也可称为“平行型”相似）

*[此处应有示意图：一个三角形ABC，DE在AB、AC上，DE平行于BC]

2.“X”型相似（或“8”字型相似）：如图，AB、CD相交于点O，且∠A=∠C（或∠B=∠D），则△AOD∽△COB。

*[此处应有示意图：两条相交直线AB、CD交于O，连接AD、BC，形成类似X的图形]

3.“K”型相似（或“一线三垂直”模型）：如图，点B、C、D在同一直线上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，则△ABC∽△CDE。此模型在坐标系中或动态几何问题中经常出现。

*[此处应有示意图：直线BD上有B、C、D三点，AB垂直BD于B，ED垂直BD于D，AC垂直CE于C]

4.母子型相似（射影定理模型）：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则△ABC∽△ACD∽△CBD。由此可推导出射影定理：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD。

*[此处应有示意图：直角三角形ABC，直角顶点C，CD是斜边上的高]

二、解题方法与技巧

（一）证明三角形相似的思路

1.已知有一角对应相等：

*找另一角对应相等（用AA）；

*找夹这个角的两边对应成比例（用SAS）。

2.已知两边对应成比例：

*找夹角相等（用SAS）；

*找第三边也成比例（用SSS）。

3.已知有平行线：

*利用平行线截得的相似三角形（A型或X型）。

4.利用基本模型：

*观察图形，看是否符合上述常见的相似模型。

（二）利用相似求线段长度或角度

1.“找”：找出相似的三角形；

2.“定”：确定相似比；

3.“列”：根据对应边成比例列出比例式；

4.“解”：解方程求出未知量。

注意：对应边一定要找准，必要时可写出比例式的字母表达式，如“AB/DE=BC/EF=AC/DF”。

（三）利用相似解决面积问题

1.直接利用面积比等于相似比的平方；

2.通过相似求出相关线段的长度，再计算面积；

3.多个图形组合时，注意观察它们面积之间的和差关系。

（四）辅助线的添加技巧

在相似三角形问题中，辅助线的添加往往能起到“柳