定积分的概念与性质.pptVIP

**定积分的概念与性质*第1页，共39页，星期日，2025年，2月5日第五章定积分基本要求理解定积分的定义和性质,微积分基本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法.*第2页，共39页，星期日，2025年，2月5日第一节定积分的概念与性质定积分问题举例定积分的定义关于函数的可积性定积分的几何意义和物理意义小结思考题作业定积分定积分的性质***definiteintegral*第3页，共39页，星期日，2025年，2月5日1.曲边梯形的面积定积分概念也是由大量的实际问题求由连续曲线一、定积分问题举例抽象出来的,现举两例.定积分的概念与性质*第4页，共39页，星期日，2025年，2月5日用矩形面积梯形面积．（五个小矩形）（十个小矩形）思想以直代曲显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边定积分的概念与性质近似取代曲边梯形面积*第5页，共39页，星期日，2025年，2月5日采取下列四个步骤来求面积A.(1)分割(2)取近似定积分的概念与性质长度为为高的小矩形,面积近似代替*第6页，共39页，星期日，2025年，2月5日(3)求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值.(4)求极限为了得到A的精确值,取极限,形的面积:分割无限加细,定积分的概念与性质极限值就是曲边梯*第7页，共39页，星期日，2025年，2月5日2.求变速直线运动的路程思想以不变代变设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.思路把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．定积分的概念与性质*第8页，共39页，星期日，2025年，2月5日(1)分割(3)求和(4)取极限路程的精确值(2)取近似定积分的概念与性质表示在时间区间内走过的路程.某时刻的速度*第9页，共39页，星期日，2025年，2月5日二、定积分的定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入定义若干个分点把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间长度依次为在各小区间上任取一点作乘积并作和记如果不论对(1)(2)(3)(4)上两例共同点:2)方法一样;1)量具有可加性,3)结果形式一样.定积分的概念与性质*第10页，共39页，星期日，2025年，2月5日被积函数被积表达式记为积分和怎样的分法,也不论在小区间上点怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.定积分的概念与性质积分下限积分上限积分变量[a,b]积分区间*第11页，共39页，星期日，2025年，2月5日(2)的结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数定积分的概念与性质有关;注无关.而与积分变量的记号无关.*第12页，共39页，星期日，2025年，2月5日曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值1.几何意义定积分的概念与性质三、定积分的几何意义和物理意义*第13页，共39页，星期日，2025年，2月5日几何意义定积分的概念与性质各部分面积的代数和.取负号.它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a,x=b之间的在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积*第14页，共39页，星期日，2025年，2月5日例解2.物理意义t=b所经过的路程s.oxy作直线运动的物体从时刻t=a到时刻定积分的概念与性质定积分表示以变速*第15页，共39页，星期日，2025年，2月5日定理1定理2或记为黎曼德国数学家(1826–1866)四、关于函数的可积性可积.且只有有限个可积.当函数的定积分存在时,可积.黎曼可积,第一类间断点,充分条件定积分的概念与性质*第16页，共39页，星期日，2025年，2月5日例1下面举例按定义计算定积分.求函数上的定积分.定积分的概念与性质*第17页，共39页，星期日，2025年，2月5日定积分的概念与性质讨论定积分的近似计算问题.存在.n等分,用分