（人教A版）必修二高一数学高一下学期同步考点讲练专题6.3 向量的数量积（解析版）.docxVIP

专题6.3向量的数量积（重难点题型精讲）

1．向量的数量积

(1)向量数量积的物理背景

在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.

我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.

(2)向量的夹角

已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB=(0≤≤

π)叫做向量与的夹角，也常用表示.

(3)两个向量数量积的定义

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.

(4)向量的投影

如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，

分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

2．向量数量积的性质和运算律

(1)向量数量积的性质

设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

①==.

②=0.

③当与同向时，=；当与反向时，=-.

特别地，==或=.

④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.

⑤=.

(2)向量数量积的运算律

由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量，，和实数，有

①交换律：=；

②数乘结合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.

3．向量数量积的常用结论

(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等

号成立.

以上结论可作为公式使用.

【题型1向量的投影】

【方法点拨】

根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.

【例1】已知单位向量a,b满足a+b=3，则

A．a B．12a C．12

【解题思路】利用向量数量积的运算律可求得a?b，首先求得a在

【解答过程】由题意知：a=b=1，∵

∴acosa,b=

【变式1-1】已知|a|=3,|b|=5，设a,b的夹角为120°，则

A．56a B．536a

【解题思路】列出投影向量公式，即可计算求解.

【解答过程】b在a上的投影向量aa

【变式1-2】已知平面向量a,b满足|a|=2,a?b

A．12a B．12b C．

【解题思路】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.

【解答过程】b在a方向上的投影向量为(|b

【变式1-3】如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120°，AB=CD，则向量CD在向量AB上的投影向量为（

A．?32AB B．?12AB

【解题思路】根据图形求出向量AB与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.

【解答过程】延长AB，DC交于点E，如图所示，

∵∠ABC=∠BCD=120°，∴∠CBE=∠BCE=60°，∴∠CEF=120°，又∵CD=AB，∴向量CD

【题型2向量数量积的计算】

【方法点拨】

解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊

夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.

【例2】已知向量a与向量b的夹角为60°，a=4，b=5，则a?

A．20 B．10 C．53 D．

【解题思路】根据给定条件，利用向量数量积的定义直接计算作答.

【解答过程】因为向量a与向量b的夹角为60°，a=4，b=5，所以

【变式2-1】已知向量a，b满足|a=2，b|=3，且a与b的夹角为

A．6 B．8 C．10 D．14

【解题思路】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.

【解答过程】`

由|a=2，b|=3，且a与

【变式2-2】在△ABC中，∠C=90°，CB=3，点M在边AB上，且满足BM=2MA，则CM?

A．43 B．3 C．6

【解题思路】结合向量的数量积运算以及线性运算求得正确答案.

【解答过程】依题意CA⊥CB，CB=3，BM=2

所以CM

=1

【变式2-3】如图，在边长为3的正△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AEEB=CDDA=

A．93?12 B．92?12

【解题思路】结合平面向量的线性运算得到DE?

【解答过程】因为AEEB=

DE?

又因为正△ABC边长为3，所以AC=AB=3

故DE?BC

【题型3求向量的夹角（夹角的余弦值）】

【方法点拨】

求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式=求解.

【例3】已知向量m，n满足m=n=2，且m?n=?22

A．π6 B．π4