第八节极值与最值.pptVIP

所以，z=f(x,y)在取得所求的极值，即相当于函数取得极值，由一元函数取得极值的必要条件,有而，用隐函数求导公式，有代入上式得：第29页，共52页，星期日，2025年，2月5日(3)令由(1)、(2)、(3)式得:此即在取极值的必要条件第30页，共52页，星期日，2025年，2月5日（1）构造拉格朗日函数（Lagrange）：其中?为参数，称之为拉格朗日乘子（2）联解方程组，求出问题的所有可能的极值点。求函数z=f(x,y)在约束条件?(x,y)=0下的极值。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。拉格朗日乘数法：第31页，共52页，星期日，2025年，2月5日推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可能点.例如,求函数下的极值.在条件第32页，共52页，星期日，2025年，2月5日例8.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问第33页，共52页，星期日，2025年，2月5日得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.第34页，共52页，星期日，2025年，2月5日例9：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。由于d中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题1转化为下面的等价问题：第35页，共52页，星期日，2025年，2月5日（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为问题2：在条件下，求函数的最大最小值。第36页，共52页，星期日，2025年，2月5日例9：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。求得两个驻点：对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以最近距离为最远距离为第37页，共52页，星期日，2025年，2月5日第1页，共52页，星期日，2025年，2月5日回顾：一元函数y=f(x)的极值概念：总有第2页，共52页，星期日，2025年，2月5日（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。（2）（极值存在的必要条件）若f(x)在极值点处可导，则导数一定为0，反之不成立。（3）（驻点为极值点的充分条件）设存在，则有（1）如果（3）如果，则为f(x)的极小值；（2）如果，则为f(x)的极大值；，定理失效。第3页，共52页，星期日，2025年，2月5日定义：设z=f(x,y)的定义域为D，总有总有是D的一个内点，则称是f(x,y)的极大值；则称是f(x,y)的极小值。若存在点的一个去心邻域极大值和极小值统称为极值；一、多元函数的极值第4页，共52页，星期日，2025年，2月5日例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.使函数取得极值的点称为极值点；同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念极值点必是D的内点；结论：二元函数的极值点是其曲面在某个领域的最高（低）点第5页，共52页，星期日，2025年，2月5日问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数，且在点(x0,y0)有极值，则有： 证明:如果取y=y0，则函数f(x,y0)是x的一元函数同理有第6页，共52页，星期日，2025年，2月5日极值点的几何