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2022年江苏省南京市秦淮区中华中学特长生招生数学试卷

一、综合卷

1．若代数式有意义，则x的取值范围为．

2．已知a、b为方程x2+2x﹣1＝0的两根，则＝．

3．一次会议中，每2人握一次手，共握手55次．

4．x3+6x2+6x+1因式分解后，一个因式为x+1，则另一个因式是．

5．已知在△ABC中，AC＝6，BC＝8，半径为1的圆在三角形内移动，圆可以与三角形的边相切．

6．已知二次函数y＝ax2+bx+c，该函数图象上有四个点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）、（3，y4），且满足y1＜y3＜y2，则y1，y2，y3，y4的大小关系是．

7．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC边中点，AC、AF与BE交点分别为G、H，已知GH＝4．

8．将100cm的线段分成n（n＞2）段，每一段长均为不小于1cm的整数厘米，分完后，则n最大为．

解答题

9．如图，⊙O为△ABD的外接圆，AC为BD边上的高．

（1）请写出AB、AD、AC与⊙O半径r的关系；

（2）如果作∠BAD的角平分线交⊙O于M，那么AM是否是∠OAC的角平分线？说明理由．

二、数学加试

10．函数图象与x轴交于点A，将函数图象绕点A顺时针方向旋转30°后得到的函数图象对应的表达式是．

11．如图，∠ACB＝90°，△DEF中，DE＝3，DF＝4，开始时，点F与点C重合．当点E向点C运动时（保持△DEF形状不变），点E从起始位置运动到点C的过程中，点D的运动轨迹的长度是．

12．已知m＞n＞0，，则＝．

解答题

13．如图，点C在⊙O外，P为CO中点，且CA＝CO，连接AP并延长交⊙O于点B

2022年江苏省南京市秦淮区中华中学特长生招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、综合卷

1．若代数式有意义，则x的取值范围为x≥0且x≠1．

【解答】解：由题意得：x≥0且x﹣1≠4，

解得：x≥0且x≠1，

故答案为：x≥6且x≠1．

2．已知a、b为方程x2+2x﹣1＝0的两根，则＝．

【解答】解：∵a、b为方程x2+2x﹣8＝0的两根，

∴，，

∴，

∴

＝，

当时，

＝；

当时，

＝，

故答案为：．

3．一次会议中，每2人握一次手，共握手55次11．

【解答】解：设这次会议的总人数是x人，

根据题意，可得nbsp;，

解得x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去），

所以，这次会议的总人数是11人．

故答案为：11．

4．x3+6x2+6x+1因式分解后，一个因式为x+1，则另一个因式是x2+5x+1．

【解答】解：原式＝x3+x2+2x2+5x+x+7

＝x2（x+1）+2x（x+1）+（x+1）

＝（x+4）（x2+5x+7），

故答案为：x2+5x+6．

5．已知在△ABC中，AC＝6，BC＝8，半径为1的圆在三角形内移动，圆可以与三角形的边相切18+π．

【解答】解：如图1，圆与三角形的边相切，

∴∠A+∠DJI＝180°，∠C+∠EKF＝180°，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠DJI+∠EKF+∠HLG＝360°，

将四边形ADJI，ECFK，则图1中圆不能到达的部分即为图4中⊙O外部，

∵⊙O半径为1，且⊙O与△A′B′C′三边相切，

∴OP＝OQ＝ON＝1，ON⊥A′C′，OP⊥A′B′，

∴四边形NC′QO为正方形，A′N＝A′P，

设A′N＝A′P＝x，B′P＝B′Q＝y，

则A′C′＝x+8，B′C′＝y+1，

由平移可得：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，

∴，

解得：，

∴A′C′＝3，B′C′＝4，

∴图②中⊙O外部面积＝，

∴该圆能到达的面积＝，

故答案为：18+π．

6．已知二次函数y＝ax2+bx+c，该函数图象上有四个点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）、（3，y4），且满足y1＜y3＜y2，则y1，y2，y3，y4的大小关系是y4＜y1＜y3＜y2．

【解答】解：如图，根据点（﹣3，y1）、（﹣6，y2）、（1，y4）且y1＜y3＜y7，

当对称轴0＜x＜1时，点（6，y3）更接近对称轴，则有y3＞y7，故不符合题意，

所以对称轴﹣1＜x＜0，结合图象可得y7＜y1＜y3＜y5．

故答案为：y4＜y1＜y5＜y2．

7．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC边中点，AC、AF与BE交点分别为G、H，已知GH＝415．

【解