2026版高考数学 离散型随机变量及其分布列、数字特征（附解析 ）（新高考版）.pdfVIP

高考数学总复习

离散型随机变量及其分布列、数字特征

1.(13分)(2024·广东东莞模拟)某短视频软件经过几年的快速发展,深受人们的喜爱,该软

件除了有娱乐属性外,也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品,现有以下两种宣

传方案:

方案一:投放该平台广告,据市场调研,其收益X分别为0元,20万元,40万元,且

P(X=20)=0.3,期望E(X)=30.

方案二:投放传统广告,据市场调研,其收益Y分别为10万元,20万元,30万元,其概率依次

为0.3,0.4,0.3.

(1)请写出方案一的分布列,并求方差D(X);

(2)请你根据所学的统计知识给出建议,该公司宣传应该投放哪种广告,并说明你的理由.

2.(15分)(2024·山东济宁一模)袋中装有大小相同的4个红球,2个白球.某人进行摸球游

戏,游戏规则如下:①每次从袋中摸取一个小球,若摸到红球则放回袋中,充分搅拌后再进

行下一次摸取;②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束.

(1)求摸球游戏结束时摸球次数不超过3的概率;

(2)若摸出1次红球计1分,摸出1次白球记2分,求游戏结束时,此人总得分X的分布列

和数学期望.

3.(15分)(2024·江西南昌一模)甲公司现有资金200万元,考虑一项投资计划,假定影响投

资收益的唯一因素是投资期间的经济形势,若投资期间经济形势好,投资有25%的收益

率,若投资期间经济形势不好,投资有10%的损益率;如果不执行该投资计划,损失为1万

元.现有两个方案,方案一:执行投资计划;方案二:聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经

济形势,聘请费用为5000元,若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好,则执行投资计

划;若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好,则不执行该计划.根据以往的资料表

明,投资咨询公司乙预测不一定正确,投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势好

的概率是0.8;投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设

根据权威资料可以确定,投资期间经济形势好的概率是40%,经济形势不好的概率是

60%.

(1)求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率.

(2)根据获得利润的期望值的大小,甲公司应该执行哪个方案?说明理由.

高考数学总复习

4.(15分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,

水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以

上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年

份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互

独立.

(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限

制,并有如下关系:

年入流量X40X8080≤X≤120X120

发电量最多

123

可运行台数

若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800

万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装多少台发电机?

答案：

1.解(1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,

依题意得a+b+0.3=1,①

又E(X)=0×a+20×0.3+40b=30,②

由①②解得a=0.1,b=0.6.

∴X的分布列为

X02040

P0.10.30.6

222

则D(X)=(0-30)×0.1+(20-30)×0.3+(40-30)×0.6=180.

(2)由题得Y的分布列为

Y102030

P