2025年大学《数理基础科学》专业题库—— 时空结构与宇宙学的探索.docxVIP

2025年大学《数理基础科学》专业题库——时空结构与宇宙学的探索

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）

1.一辆火车以0.6c的速度向东匀速行驶，车上一个人抛出一个球，球相对于火车的速度为0.8c向东。地面上观测者测量球的速度是多少？

(A)0.44c

(B)0.8c

(C)1.44c

(D)0.36c

2.在广义相对论中，描述时空几何弯曲程度的物理量是？

(A)电磁场强度

(B)速度的四维矢量

(C)时空度规张量

(D)熵

3.根据大爆炸理论，宇宙起源于大约多少年前？

(A)1亿年

(B)46亿年

(C)1000亿年

(D)138亿年

4.宇宙微波背景辐射的主要特征是？

(A)具有非常高的亮度

(B)具有黑体辐射谱，温度约为2.7K

(C)主要分布在银河系中心区域

(D)只在可见光波段存在

5.导致宇宙加速膨胀的神秘力量被称为？

(A)引力

(B)大爆炸奇点

(C)暗物质

(D)暗能量

二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题中的横线上）

6.狭义相对论中，时间和空间是相对的，这一观点通常由洛伦兹变换所体现。

7.广义相对论的核心场方程将引力场（度规张量）与宇宙的能量动量张量联系起来，其数学形式通常写作Gμν+Λgμν=8πGTμν（其中Gμν是爱因斯坦张量，Λ是宇宙学常数，G是引力常数，Tμν是能量动量张量）。

8.宇宙学中的哈勃定律描述了星系红移量（或退行速度）与其距离之间的关系，其基本形式为v=H?d，其中H?称为哈勃常数。

9.张量是一个数学对象，它具有分量，并且其分量在坐标变换下会按照特定的规则改变，这使得张量能够描述物理定律的相对不变性。

10.观测到遥远超新星的光度与其视星等之间存在系统偏差，这一现象是支持宇宙存在加速膨胀证据的重要来源之一。

三、计算题（共35分）

11.（10分）一艘宇宙飞船以0.8c的速度相对于地面匀速飞行，飞船上的钟走了5分钟，地面上的观察者测量这艘飞船飞过了多远的距离？

12.（10分）考虑一维狭义相对论动力学中的四维动量，其表达式为pμ=(E/c,p?,p0xE10xB50xA3,p0xE20x820x9D)。对于一质量为m?的静止粒子，其总能量E是多少？若该粒子以速度v运动，其总能量E又是多少？（请使用质能方程E2=(mc2)2=m?2c?+p2c2）

13.（15分）在一个弱引力场中，时空度规近似为ds2=c2dt2-(1+2φ/c2)dx2（其中φ是标量势）。计算在x=0处，一个以dx/dτ=v?（其中τ是固有时间）匀速运动的粒子的世界线在t=0时刻的切向加速度（即d2x/dτ2）。假设φ和v?都很小。

四、证明题（共30分）

14.（15分）证明在狭义相对论中，速度的合成满足光速不变原理。即，如果两个参考系S和S相对速度为u，在S系中两个物体沿x轴方向的速度分别为v?和v?，则在S系中，这两个物体的速度v?和v?满足v?+v?=(v?+v?)/(1+v?v?/c2)。（提示：从洛伦兹速度变换公式出发）

15.（15分）根据弗里德曼方程R?+(4πG/3)ρ-kc2/R2=0，其中R是宇宙尺度因子，ρ是宇宙物质密度，k是宇宙几何学参数（k=-1,0,1对应开放、平坦、封闭宇宙），以及宇宙学常数为Λ。证明在平坦宇宙（k=0）且只考虑物质项和宇宙学项（忽略辐射项）的静态解（R不随时间变化，R?=0）是不可能的。说明这意味着什么（关于宇宙的演化）。

试卷答案

一、选择题

1.(A)

2.(C)

3.(D)

4.(B)

5.(D)

二、填空题

6.相对性

7.Gμν+Λgμν=8πGTμν

8.v=H?d,哈勃常数

9.坐标变换,相对不变性

10.超新星,光度-距离关系

三、计算题

11.解：

设飞船为S系，地面为S系。v=0.8c,Δt=5分钟=300秒。

根据时间延缓效应：Δt=γΔt，其中γ=1/√(1-v2/c2)=1/√(1-0.82)=1/√(1-0.64)=1/√0.36=1/0.6=5/3。

Δt=(5/3)*300秒=500秒。

在S系中，