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新人教版七年级数学上册第一章知识点归纳及练习

亲爱的同学们，踏入初中的数学世界，第一章“有理数”将为我们打开全新的大门。这一章不仅是小学算术的延伸，更是整个初中数学的基石，对后续学习代数、几何等内容都有着深远的影响。下面，我们就一同梳理这一章的核心知识点，并通过练习来巩固所学。

一、有理数的基本概念

1.正数与负数

我们把大于0的数叫做正数，如+3、+2.5、+1/3等（“+”号通常可省略不写）。

而在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫做负数，如-3、-2.5、-2/3等。

注意：0既不是正数，也不是负数。它是正数和负数的分界点。

引入负数是为了表示具有相反意义的量，例如：收入与支出、上升与下降、向东与向西等。

2.有理数的定义与分类

有理数：整数和分数统称为有理数。

*整数：正整数、0、负整数统称为整数。例如：1、2、0、-1、-3等。

*分数：正分数和负分数统称为分数。例如：1/2、-3/4、0.3（可化为3/10）、-0.25（可化为-1/4）等。

这里需要强调的是，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也属于分数。

有理数的分类（两种常见方式）：

1.按定义分类：

有理数{整数（正整数、0、负整数），分数（正分数、负分数）}

2.按性质（正负）分类：

有理数{正有理数（正整数、正分数），0，负有理数（负整数、负分数）}

3.数轴

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

*原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。

*正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。

*单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…。

数轴的作用：

1.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

2.数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

3.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

4.相反数

相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别地，0的相反数是0。

例如：5和-5互为相反数，-3/2的相反数是3/2。

几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

表示方法：数a的相反数是-a。若a与b互为相反数，则a+b=0。

5.绝对值

绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：

1.一个正数的绝对值是它本身；

2.一个负数的绝对值是它的相反数；

3.0的绝对值是0。

即：

当a0时，|a|=a；

当a=0时，|a|=0；

当a0时，|a|=-a。

重要结论：

*任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。

*若|a|=|b|，则a=b或a=-b。

二、有理数的运算

1.有理数的加法

加法法则：

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

3.一个数同0相加，仍得这个数。

加法运算律：

*交换律：a+b=b+a

*结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

运用运算律可以使一些加法运算简便。

2.有理数的减法

减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

即：a-b=a+(-b)

减法运算可以统一成加法运算进行。

3.有理数的乘法

乘法法则：

1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2.任何数同0相乘，都得0。

3.几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

4.几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0。

乘法运算律：

*交换律：a×b=b×a

*结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

*分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

运算律同样能简化乘法运算。

4.有理数的除法

除法法则（一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

即：a÷b=a×(1/b)(b≠0)

除法法则（二）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

注意：0不能作除数。

5.有理数的乘方

乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在a?中，a叫做底数，n叫做指数，a?读作“a的n次方”或“a的n次幂”。

乘方法则：