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2016年普通高等教育专升本考试试卷及答案

一、高等数学试卷

（一）选择题（每题3分，共15分）

函数y=\frac{\ln(x-1)}{\sqrt{4-x^2}}的定义域是（）

A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]

当x\to0时，下列函数中与x是等价无穷小的是（）

A.\sin2xB.1-\cosxC.\ln(1+x)D.e^{2x}-1

设函数f(x)在点x=x_0处可导，且\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=2，则f^\prime(x_0)等于（）

A.0B.1C.2D.4

不定积分\intx\sinxdx等于（）

A.-x\cosx+\sinx+CB.x\cosx-\sinx+C

C.-x\cosx-\sinx+CD.x\cosx+\sinx+C

微分方程y^\prime=2xy的通解是（）

A.y=Ce^{x^2}B.y=Ce^{2x}C.y=Cxe^{x}D.y=Cxe^{2x}

（二）填空题（每题3分，共15分）

\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=______。

设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)的极大值点为______。

曲线y=x^2-2x+3在点(1,2)处的切线方程为______。

定积分\int_{0}^{1}(x^2+\sqrt{x})dx=______。

设向量\vec{a}=(1,2,-1)，\vec{b}=(2,0,3)，则\vec{a}\cdot\vec{b}=______。

（三）计算题（每题8分，共40分）

计算\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}。

设函数y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})，求y^\prime。

计算不定积分\int\frac{x}{1+x^2}dx。

计算定积分\int_{0}^{\pi}x\cosxdx。

求微分方程y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=0的通解。

（四）应用题（每题10分，共20分）

求由曲线y=x^2，直线y=x+2所围成的平面图形的面积。

某工厂生产某产品的边际成本为C^\prime(q)=2q+3（单位：万元/百件），固定成本为C(0)=5万元，求总成本函数C(q)以及当产量为100件时的总成本。

（五）证明题（10分）

证明：当x0时，e^x1+x。

二、高等数学答案

（一）选择题

A解析：要使函数有意义，需满足\begin{cases}x-10\\4-x^20\end{cases}，即\begin{cases}x1\\-2x2\end{cases}，所以定义域为(1,2)。

C解析：\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lne=1，所以\ln(1+x)与x是等价无穷小。

B解析：\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{[f(x_0+h)-f(x_0)]-[f(x_0-h)-f(x_0)]}{h}=f^\prime(x_0)+f^\prime(x_0)=2f^\prime(x_0)=2，所以f^\prime(x_0)=1。

A解析：用分部积分法，设u=x，dv=\sinxdx，则du=dx，v=-\cosx，\intx\sinxdx=-x\cosx+\int\cosxdx=-x\cosx+\sinx+C。

A解析：分离变量得\frac{dy}{y}=2xdx，两边积分得\ln|y|=x^2+C_1，即y=Ce^{x^2}（C=\pme^{C_1}）。

（二）填空题

e^2解析：\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{