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相似三角形经典模型总结与例题分类

相似三角形是平面几何的重要基石，其性质的灵活应用贯穿于各类几何问题的求解过程。在复杂多变的图形中，准确识别并提炼出常见的相似模型，往往是解题的关键。本文将系统梳理相似三角形的经典模型，剖析其结构特征与核心结论，并结合典型例题进行分类解析，旨在帮助读者深化理解，提升解题效率。

一、A字型与反A字型（共角型）

A字型与反A字型是相似三角形中最为基础也最为常见的模型，它们的核心特征是存在一个公共角（或对顶角），以及一组平行线或潜在的平行关系。

（一）A字型（正A模型）

模型特征：如图1所示，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。此时，△ADE与△ABC构成A字型相似。

核心结论：

1.△ADE∽△ABC（AA相似，因为DE∥BC，同位角相等）。

2.对应边成比例：AD/AB=AE/AC=DE/BC。

3.对应高、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。

例题解析：

已知在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1.8，求AC的长。

分析：此题为A字型模型的直接应用。由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC。根据相似比AD/AB=AE/AC。AB=AD+DB=5，设EC=x，则AC=AE+EC=1.8+x。代入比例式2/5=1.8/(1.8+x)，解得x=2.7，故AC=1.8+2.7=4.5。

（二）反A字型（斜A模型或共角模型）

模型特征：如图2所示，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上（或其延长线上），∠AED=∠B（或∠ADE=∠C）。此时，△AED与△ABC构成反A字型相似。其本质是两个三角形有一个公共角∠A，且另一组对应角相等。

核心结论：

1.△AED∽△ABC（AA相似，公共角∠A，∠AED=∠B）。

2.对应边成比例：AE/AB=AD/AC=DE/BC。

3.交叉乘积相等：AE·AC=AD·AB。

例题解析：

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D。求证：△ABD∽△CBA。

分析：在△ABD与△CBA中，∠B是公共角。因为∠BAC=90°，AD⊥BC，所以∠ADB=∠BAC=90°。根据AA相似判定定理，可得△ABD∽△CBA。此例也揭示了“射影定理”的基本图形基础。

二、8字型与反8字型（X型）

8字型与反8字型模型的核心特征是存在一组对顶角，以及一组平行线或潜在的平行关系，使得两个三角形相似。

（一）8字型（正8模型或X型）

模型特征：如图3所示，两条直线AB、CD相交于点O，且AD∥BC。此时，△AOD与△BOC构成8字型相似。

核心结论：

1.△AOD∽△BOC（AA相似，因为AD∥BC，内错角相等；或由对顶角相等及另一组角相等判定）。

2.对应边成比例：AO/BO=DO/CO=AD/BC。

3.线段比例关系：AO·CO=BO·DO。

例题解析：

已知线段AB与CD相交于点O，AD∥BC，若AO=2，BO=3，AD=4，求BC的长度。

分析：由AD∥BC，可判定△AOD∽△BOC（8字型）。根据相似比AO/BO=AD/BC，即2/3=4/BC，解得BC=6。

（二）反8字型（非标8字，或对顶角模型）

模型特征：如图4所示，两条直线AB、CD相交于点O，若∠A=∠C（或∠B=∠D），则△AOB与△COD构成反8字型相似。其核心是对顶角相等（∠AOB=∠COD）及另一组对应角相等。

核心结论：

1.△AOB∽△COD（AA相似，对顶角∠AOB=∠COD，∠A=∠C）。

2.对应边成比例：AO/CO=BO/DO=AB/CD。

3.线段乘积关系：AO·DO=BO·CO。

例题解析：

如图，AB与CD相交于点O，若∠A=∠D，AO=3，BO=4，CO=6，求DO的长。

分析：因为∠A=∠D，且∠AOB=∠DOC（对顶角相等），所以△AOB∽△DOC（反8字型）。根据相似比AO/DO=BO/CO，即3/DO=4/6，解得DO=4.5。

三、一线三垂直模型（K型）

一线三垂直模型在平面几何中应用广泛，尤其在直角坐标系背景下的几何问题中频繁出现。其核心是一条直线上有三个直角顶点，由此构造出两个相似的直角三角形。

模型特征：如图5所示，直线l上有三个点A、B、C，使得∠DAB=∠EBC=∠DEC=90°（或其他三个相等的角，不一定是直角，但直角最为常见且典型）。此时，△DAB与△BCE可能相似。最常见的是“一线三直角”，即三个直角