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二次根式计算专题——30题

二次根式的运算是初中数学的重要组成部分，也是进一步学习更复杂代数知识的基础。其运算涉及化简、乘除、加减以及混合运算等多个方面，对运算的准确性和技巧性都有一定要求。不少同学在面对二次根式时，常因概念不清、法则混淆或计算粗心而失分。本文精心选取30道二次根式计算题，涵盖基础巩固、技能提升与综合应用，旨在帮助同学们系统梳理知识脉络，熟练掌握运算技巧，提升解题能力。在开始练习前，请务必回顾二次根式的基本性质与运算法则，确保概念清晰。

一、核心概念与运算规则回顾

在进入习题之前，我们先简要回顾二次根式运算的核心要点，这是确保计算准确的前提：

1.二次根式的定义：形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的前提。

2.二次根式的基本性质：

*(√a)2=a(a≥0)

*√(a2)=|a|，即当a≥0时，√(a2)=a；当a0时，√(a2)=-a。

*√(ab)=√a·√b(a≥0,b≥0)

*√(a/b)=√a/√b(a≥0,b0)

3.二次根式的乘法法则：√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)

4.二次根式的除法法则：√a/√b=√(a/b)(a≥0,b0)

5.二次根式的加减法：先将各二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

6.分母有理化：将分母中的根号化去的过程。常用方法是分子分母同乘分母的有理化因式。

7.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式。

8.最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：

*被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

*被开方数不含分母。

二、专题练习与详解

（一）二次根式的化简（基础巩固）

说明：本部分题目主要考察对二次根式基本性质的理解和运用，以及将二次根式化为最简二次根式的能力。

1.题目：化简√12

解答：√12=√(4×3)=√4×√3=2√3

点评：关键在于将被开方数分解因数，找出能开得尽方的因数（4是22），再利用√(ab)=√a·√b进行化简。

2.题目：化简√(1/8)

解答：√(1/8)=√1/√8=1/(2√2)=√2/(2√2×√2)=√2/4

点评：先利用商的算术平方根法则，再将分母中的根号化去（分母有理化）。也可直接将被开方数的分子分母同乘2，使分母成为完全平方数：√(2/16)=√2/√16=√2/4。

3.题目：化简√(a3b)(a0,b≥0)

解答：√(a3b)=√(a2·a·b)=√a2·√(ab)=a√(ab)

点评：注意题中给出的a0，b≥0条件，确保化简过程中各部分有意义。将a3分解为a2·a，a2开方得a。

4.题目：化简√(25x?y2)(y≥0)

解答：√(25x?y2)=√25·√x?·√y2=5x2y

点评：被开方数是积的形式，可直接对每个因式分别开方。x?=(x2)2，y2开方得y（因y≥0）。

5.题目：化简√(18a2b3)(a0,b0)

解答：√(18a2b3)=√(9a2b2·2b)=√9·√a2·√b2·√(2b)=3|a|b√(2b)

因为a0，所以|a|=-a，故原式=3(-a)b√(2b)=-3ab√(2b)

点评：此题为易错题，重点关注a0这个条件。√a2=|a|，当a0时，|a|=-a。在化简时，务必注意字母的取值范围对结果符号的影响。

（二）二次根式的乘除运算

说明：本部分题目考察二次根式的乘法和除法法则的直接应用及简单混合运算。

6.题目：计算√6×√2

解答：√6×√2=√(6×2)=√12=2√3

点评：直接应用二次根式乘法法则√a·√b=√(ab)，得到√12后需进一步化简为最简二次根式。

7.题目：计算√27÷√3

解答：√27÷√3=√(27÷3)=√9=3

点评：应用二次根式除法法则√a/√b=√(a/b)(b0)，直接相除后化简。

8.题目：计算(√8×√3)÷√6

解答：原式=√(8×3)÷√6=√24÷√6=√(24÷6)=√4=2

点评：同级运算从左往右依次进行，先算乘法，再算除法。也可先将√8化简为2√2，原式=(2√2×√3)÷√6=2√6÷√6=2，更为简便。

9.题目：计算2√3×3√5

解答：2√3×3√5=(2×3)×(√3