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高中数学知识点(超全哦)(推荐)

集合与常用逻辑用语

1.集合的含义与表示

集合是由某些确定的对象组成的整体。例如，所有小于5的正整数构成的集合，可表示为\(\{1,2,3,4\}\)。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。确定性是指给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是明确的；互异性是指集合中的元素都不相同；无序性是指集合中的元素排列顺序不影响集合本身，如\(\{1,2,3\}\)和\(\{3,2,1\}\)是同一个集合。

集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。列举法就是将集合中的元素一一列举出来，像上面提到的\(\{1,2,3,4\}\)；描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，例如\(\{x|x^2-3x+2=0\}\)，它表示方程\(x^2-3x+2=0\)的所有解组成的集合，通过求解方程\((x-1)(x-2)=0\)，可得集合为\(\{1,2\}\)；图示法常用韦恩图来直观表示集合之间的关系。

2.集合间的基本关系

子集：如果集合\(A\)的任意一个元素都是集合\(B\)的元素，那么集合\(A\)称为集合\(B\)的子集，记作\(A\subseteqB\)。例如，\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1,2,3\}\)，则\(A\subseteqB\)。规定空集\(\varnothing\)是任何集合的子集。

真子集：如果\(A\subseteqB\)，且存在元素\(x\inB\)，但\(x\notinA\)，那么集合\(A\)是集合\(B\)的真子集，记作\(A\subsetneqqB\)。如上述例子中\(A\)是\(B\)的真子集。

相等：如果\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)，那么集合\(A\)与集合\(B\)相等，记作\(A=B\)。例如\(A=\{x|x^2-1=0\}\)，\(B=\{-1,1\}\)，通过求解\(x^2-1=0\)得\(x=\pm1\)，所以\(A=B\)。

3.集合的基本运算

交集：由所有属于集合\(A\)且属于集合\(B\)的元素所组成的集合，叫做集合\(A\)与\(B\)的交集，记作\(A\capB\)。例如\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=\{2,3\}\)。

并集：由所有属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的元素所组成的集合，叫做集合\(A\)与\(B\)的并集，记作\(A\cupB\)。对于上述\(A\)和\(B\)，\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)。

补集：设\(U\)是一个全集，\(A\)是\(U\)的一个子集，由\(U\)中所有不属于\(A\)的元素组成的集合，叫做子集\(A\)在\(U\)中的补集，记作\(\complement_UA\)。例如\(U=\{1,2,3,4,5\}\)，\(A=\{1,2,3\}\)，则\(\complement_UA=\{4,5\}\)。

4.常用逻辑用语

命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。例如“\(2+3=5\)”是真命题，“\(2\gt3\)”是假命题。

四种命题：原命题为“若\(p\)，则\(q\)”；逆命题为“若\(q\)，则\(p\)”；否命题为“若\(\negp\)，则\(\negq\)”；逆否命题为“若\(\negq\)，则\(\negp\)”。原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。例如原命题“若\(x=2\)，则\(x^2-4=0\)”是真命题，其逆否命题“若\(x^2-4\neq0\)，则\(x\neq2\)”也是真命题。

充分条件与必要条件：如果\(p\Rightarrowq\)，那么\(p\)是\(q\)的充分条件，\(q\)是\(p\)的必要条件。若\(p\Leftrightarrowq\)，则\(p\)是\(q\)的充要条件。例如“\(x\gt2\)”是“\(x\gt1\)”的充分不必要条件，因为当\(x\gt2\)时一定有\(x\gt1\)，但\(x\gt1\)时不一定有\(x\gt2\)。

全称量词与存在量词：全称量词如“所有”“任意”等，含有全称量词的命题叫做全称命题，例如“所有的正方形都是矩形”；存在量词如“存在”“至少有一个”等，含有存在量词的命题叫做特称命题，例如“存在一个实数\(x\)，使得\(x^2+1=0\)”。全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。如“所有的正方形都是矩形”的否定是“存在一个正方形不是矩形”。

函数概念与基本初等函数

1.函数的概念

设\(A\)，\(B\)是非空的数集，如果按照