第三讲 角的平分线2 课件 (共43张PPT) 2026年中考数学一轮复习.pptxVIP

第三讲角的平分线2初中几何综合复习

模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。结论:▲AOB是等腰三角形。模型分析：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ//ON，交OM于点Q。结论:▲POQ是等腰三角形。模型4角平分线+平行线模型分析:有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

1、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图1中证明CE=CF;(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数;(3)若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数.

（1）证明：∵AB∥DC∴∠1=∠2∵AD∥BC∴∠3=∠4AF平分∠BAD∴∠2=∠3∴∠1=∠4∠4=∠5∴∠1=∠5∴CE=CF

(2)证明：连接CG，BG.在△CEF中，∠BCF=90oEG=FG∴EG=FG=CG∠BCG=45o△ADF是等腰直角三角形∴∠AFD=45o∴∠BCG=∠AFDAD=DF=BC∴△BCG≌△DFG∴BG=DG∠BGC=∠DGF∠BGD=∠BGC-∠DGC∠CDF=∠DGF-∠DGC∴∠BGD=∠CDF∠CDF=90o∴∠BGD=90o∴△BGD是等腰直角三角形∴∠BDG=45o

(3)证明：连接CG、BG、EG。∵FG=CEFG∥CE∴四边形EGFC是菱形∴EG=FG=CG∵∠ABC=120o∴∠BEG=∠DCG=60oAB=BE=DC∴△BEG≌△DCG∴BG=DG∠BGE=∠DGC∠BGD=∠BGE+∠EGD∠EGC=∠DGC+∠EGD∴∠BGD=∠EGC=60o∴△BGD是等边三角形∴∠BDG=60o

2、在矩形ABCD中，将对角线CA绕点C逆时针旋转得到CE，连接AE，取AE的中点F，连接BF，DF.(1)若点E在CB的延长线上，如图1.①依题意补全图1;②判断BF与DF的位置关系并加以证明;(2)若点E在线段BC的下方，如果∠ACE=90°，∠ACB=28°,AC=6，请写出求BF长的思路.(可以不写出计算结果)

(2)证明：延长DF、CB交于G。∵AD∥BC∴∠G=∠ADF又∠AFD=∠EFGAF=EF∴△AFD≌△EFG∴GF=DFAD=EG连接BDCE=BC+BE=AD+BE=EG+BE=BG=AC=BD又GF=DFBF=BF∴△GBF≌△DBF∴∠BFG=∠BFD∴∠BFD=90oBF⊥DF

（3）证明：连接BD、OF,∵长方形的对角线平分∴AO=CO=BO=DO在△AEC中AF=EF∴OF是△AEC的中位线∴FO∥EC∴∠AOF=∠ACE=90o∵∠ACB=28oOB=OC∴∠DBC=28o∴∠AOB=56o∴∠BOF=90o-56o=34o∵0F=?EC=?AC=?BD=OD∴∠ODF=∠OFD=17o由①BF⊥DF∴sin17o=BF/BD=BF÷6BF=sin17o×6

3、在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C、D不重合)，连接AP，平移▲ADP，使点D移动到点C，得到▲BCQ，过点Q作QH⊥BD于H,连接AH，PH。(1)若点P在线段CD上，如图1.①依题意补全图1;②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)

（1）②证明：BD是正方形的对角线∴∠BDC=45o∵QH⊥BD∴△DHQ是等腰直角三角形∴DH=QH∠HDP=∠CQHDP=CQ∴△DHP≌△QHC∴HP=HC∠DHP=∠QHC∵H在正方形对角线上∴△AHD≌△CHD∴HA=HC∠AHD=∠CHD∴HA=HP∴∠AHP=∠AHD+∠DHP∠DHQ=∠CHD+∠QHC∴∠AHP=∠DHQ=90o∴AH⊥PH

（3）证明：∠AHB=∠AHQ-∠BHQ=152o-90o=62o∵AC是正方形对角线∴∠ABD=45o∴∠BAH=180o-45o-62o=73o∴∠DAH=90o-73o=17o由②得知∠PAH=45o∴∠PAD=45o-17o=28o在RT△PAD中tan28o=DP/ADAD=1∴DP=tan28o

一题多解

4、在△ABC中，BA=BC，