高考数学知识点总结与强化练习 一、二次函数及方程、不等式.pdfVIP

一、二次函数及方程、不等式

1．元素与集合关系的判断

【知识点的认识】

1、元素与集合的关系：

一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，

b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A

或a∉A．

2、集合中元素的特征：

（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属

于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的

总体是否能构成集合．

（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个

特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．

（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．

【命题方向】

题型一：验证元素是否是集合的元素

22

典例1：已知集合A＝{x|x＝m﹣n，m∈Z，n∈Z}．求证：

（1）3∈A；

（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．

分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；

（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要

证的结论．

22

解答：解：（1）∵3＝2﹣1，3∈A；

22

（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m﹣n＝（m+n）（m﹣n）成立，

1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，

∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．

2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，

∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．

综上4k﹣2∉A．

点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．

1

题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．

2

典例2：已知集合A＝{a+2，2a+a}，若3∈A，求实数a的值．

2

分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．

2

解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a+a＝3…（2分）

当a+2＝3时，a＝1，…（5分）

此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）

2

当2a+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）

由，得，成立…（12分）

故…（14分）

点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．

【解题方法点拨】

集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

2．并集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．

符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．

图形语言：．

A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．

运算性质：

①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个

集合都是空集．⑦A∪（∁A）＝U．⑧∁（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．

UU

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混

用；注意并集中元素的互异性．不能重复．

2

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数