高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲立体几何中的向量方法教案理(含解析).docVIP

【第7讲立体几何中的向量方

法】之小船创作

基础知识整合

1．直线的方向向量和平面的法向量

直线的方向向量

01

l的方

直线l上的向量e或与e□共线的向量叫做直线

向向量，明显一条直线的方向向量有□02无数个．

平面的法向量

假如表示向量n的有向线段所在□03直线垂直于平面α，

则称这个向量垂直于平面

，此时向量

叫做

，记作⊥

平面α的法向量．

明显一个平面的法向量也有□04无数个，且它们是□05共线

向量．

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β

的法向量分别为u，v，则

∥m?06□a∥b?

08

l⊥m?□a⊥b?

07□a＝kb，k∈R；

09

□a·b＝0；

l

∥

10

a

⊥

11

α

?□

?□·＝0；

u

au

l

⊥

12

a

∥

13

∈R；

α

?□

?□＝，

u

akuk

14

15

α∥β?□u∥

v?□u＝kv，k∈R；

16

17

α⊥β?□u⊥

v?□u·v＝0.

2．空间向量与空间角的关系

(1)两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线

，

的方向向量分别为

a

，，其夹角

ab

b

18|a·b|(

此中φ为异面直线a，

为θ，则cosφ＝|cosθ|＝□|||

b

|

a

b所成的角，范围是

π

).

0，

2

直线和平面所成角的求法

以下图，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量

为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹

|

·|

19

e

n

，φ的取值范围

角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝□

|

||

|

e

n

π

是0，2.

求二面角的大小

如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与

棱

l

垂直的直线，则二面角的大小

θ

20

→

，

→

〉．

＝□〈

AB

CD

如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平

面α，β的法向量，则二面角的大小θ知足cosθ＝cos

n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．取值范围是[0，π]．3．求空间的距离

点到平面的距离

如图，设

为平面

α

的一条斜线段，

n

为平面

α

的法

AB

21

|

→·|

向量，则点

B

到平面

α

的距离

d

AB

n

.

＝□

|n|

线面距、面面距均可转变为点面距进行求解．

1．直线的方向向量确实定：

l

是空间向来线，

，

是

l

AB

→→

l的方向

上随意两点，则AB及与AB平行的非零向量均为直线

向量．

2．平面的法向量确实定：设a，b是平面α内两不共

线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

n·a＝0，

n·b＝0.

1．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法

向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的地点关系是()

A．平行

B．订交但不垂直

C．垂直

D．重合

答案

C

分析

由(1,2,0)

·(2，－

1,0)＝1×2＋2×(－

1)＋

0×0＝0，知两平面的法向量相互垂直，所以两平面相互垂直．

2．(2019·黑龙江模拟)以下图，在棱长为2的正方

体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，

AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于

(

)

10

15

4

2

A.5

B.

5

C.5

D.

3

答案B

分析设正方体的棱长为2，成立以下图的坐标系，

O

，

E

F

，

D

FD

＝(－

(1,1,0)

(0,2,1)

，(1,0,0)

1(0,0,2)

，∴→1

OE

1,0,2)，→

＝(－1,1,1)．

∴〈→，→〉＝

cosFD1OE

→

1·

→

1＋0＋2

15

FD

OE

＝

＝.

→

→

5×3

5

|

1||

|

3．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面

ABCD，E，F分别是AB，PC的中点．若∠PDA＝45°，则EF

与平面

ABCD所成的角的大小是

(

)

A．90°B．60°

C．45°D．30°

答案C

分析设AD＝a，AB＝b，因为∠PDA＝45°，PA⊥平面

ABCD，所以PA⊥AD，PA＝AD＝a.

以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在射线为x，y，z轴，

成立以下图空间直角坐标系，则

(0,0,0)

，(0,0，)，

A

P

a

E

b，0，0

，F

b，a，a

，

2

2

2

2

所以

→＝

a

a

0，，

.

EF

2

2

易知

→＝(0,0

，)是平面

的一个法向量．

AP

a

ABCD

设

EF

与平面

所成角为

θ

，

ABCD

则sin

＝|cos

〈→，

→

〉|＝

|

→·→

|

2

θ

APEF

＝.

AP

EF

AP

EF

2

|→||

→

|

所以θ＝45°.

4．(2019·金华模拟)在空间直角坐标系

Oxyz中，平面

的一个法向量为

＝(2，－2,1)

，已知点

(－1,3,