22.1 二次函数的图像和性质 原卷版-A4.docxVIP

PAGE2

第PAGE页

22.1二次函数的图像和性质

【知识梳理】

知识点一二次函数的定义

（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数．

（2）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．

（3）二次函数的判断方法：

①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．

知识点二二次函数y=ax2的图象和性质

函数

y=ax2（a0）

y=ax2（a0）

图象

开口方向

向上

向下

顶点坐标

（0，0）

（0，0）

对称轴

y轴

y轴

增减性

x0时，y随x的增大而增大；

x0时，y随x的增大而减小

x0时，y随x的增大而减小；

x0时，y随x的增大而增大

最大（小）值

当x=0时，y最小值=0

当x=0时，y最大值=0

对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．

知识点三二次函数y=ax2+k的图象和性质

函数

y=ax2+k（a0）

y=ax2+k（a0）

开口方向

向上

向下

顶点坐标

（0，k）

（0，k）

对称轴

y轴

y轴

增减性

x0时，y随x的增大而增大；

x0时，y随x的增大而减小.

x0时，y随x的增大而减小；

x0时，y随x的增大而增大.

最大（小）值

当x=0时，y最小值=k

当x=0时，y最大值=k

知识点四二次函数y=a（x-h）2的图象和性质

函数

y=a（x-h）2（a0）

y=a（x-h）2（a0）

开口方向

向上

向下

顶点坐标

（h，0）

（h，0）

对称轴

x=h

x=h

增减性

xh时，y随x的增大而增大；

xh时，y随x的增大而减小

xh时，y随x的增大而减小；

xh时，y随x的增大而增大

最大（小）值

当x=h时，y最小值=0

当x=h时，y最大值=0

知识点五二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质

函数

y=a（x-h）2+k（a0）

y=a（x-h）2+k（a0）

开口方向

向上

向下

顶点坐标

（h，k）

（h，k）

对称轴

x=h

x=h

增减性

xh时，y随x的增大而增大；

xh时，y随x的增大而减小

xh时，y随x的增大而减小；

xh时，y随x的增大而增大

最大（小）值

当x=h时，y最小值=k

当x=h时，y最大值=k

【题型探究】

题型一、二次函数的定义

【例1】．（25-26九年级上·上海）下列函数中，不是二次函数的是（???）

A． B． C． D．

【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是关于的二次函数的是（???）

A． B． C． D．

【跟踪训练2】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数是二次函数的是（???）

A． B．

C． D．

题型二、根据二次函数的定义求参数

【例2】．（25-26九年级上·云南昆明）若函数是关于的二次函数．则常数的值是（????）

A．1 B． C．2 D．2或

【跟踪训练1】．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数，则的值为（???）

A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对

【跟踪训练2】．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数是关于x的二次函数，则（）

A． B．1 C．1或 D．2

题型三、二次函数y=ax2的图象和性质

【例3】．（25-26九年级上·全国·课后作业）下表是二次函数中，x，y的部分对应值：

x

…

0

1

2

…

y

…

4

1

0

1

4

…

则下列说法不正确的是（???）

A．图象开口向上 B．图象对称轴是y轴

C．图象顶点是原点 D．图象经过点

【跟踪训练1】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知点均在抛物线上，则的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【跟踪训练2】（24-25九年级上·宁夏固原）已知抛物线经过点，．

(1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：

(2)求m的值；

题型四、二次函数y=ax2+k的图象和性质

【例4】．（25-26九年级上·安徽合肥）对于函数，下列结论正确的是（???）

A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下

C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值时，y的值总是正的

【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国）对于二次函数，下列说法不正确的是（???）

A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线

C．函数图象的顶点坐标为 D．当时，y有最大值

【跟踪训练2】．（2025·河南驻马店·二模）点是抛物线上的点，且，则与的大小关系