21.2 解一元二次方程【九大考点+九大题型】《考点•题型•技巧》讲与练高分突破-2025-2026学年九年级上册数学（人教版） 解析版-A4.docxVIP

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21.2解一元二次方程

【考点归纳】

【知识梳理】

知识点一直接开平方法

（1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．

（2）步骤：

①将方程转化为（或）的形式；

②分三种情况降次求解：

（ⅰ）当时，，；

（ⅱ）当时，；

（ⅲ）当时，方程无实数根．

知识点二配方法

（1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．

（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：

一移：将常数项移到方程等号的右边．

二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为．

三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式．

四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根．

（3）配方法解一元二次方程：

①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解．

②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根．

③为便于配方，配方前应把二次项系数化为1，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况．

知识点三公式法

（1）一元二次方程根的判别式：

一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即．

①当0时，方程有两个不相等的实数根，即．

②当=0时，方程有两个相等的实数根，即．

③当0时，方程没有实数根．

（2）求根公式：当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）公式法解一元二次方程的步骤：

①把方程化为一般形式；

②确定、、的值；

③计算的值；

④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根．

知识点四因式分解法

（1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式．

（2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为．

（3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解．

知识点五选择合适的方法解一元二次方程

方法名称

理论依据

适用范围

直接降次法

平方根的意义

形如或的一元二次方程

配方法

完全平方公式

所有一元二次方程

公式法

配方法

所有一元二次方程

因式分解法

若，则或

一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程

=1\*GB2⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法．

=2\*GB2⑵如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．

【题型探究】

题型一：直接开平方法解一元二次方程

【例1】．（25-26九年级上·全国）用直接开平方法解下列方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)， (2)，

【分析】本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．

（1）直接利用开平方解方程得出答案；

（2）方程两边同时开平方，进而得出答案．

【详解】（1），则，解得：，；

（2）．

，

解得：，．

【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

（1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答．

（2）先移项，再直接开平方，即可作答．

【详解】（1）解：∵，

∴，

解得；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴；

解得

【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：

(1)

(2)．

【答案】(1)4，

(2)4，

【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

（1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答．

（2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答．

【详解】（1）解：∵，

∴两边同时除以2，得，

则，

∴或，

解得4，．

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴，

解得4，

题型二、配方法解一元二次方程

【例2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．

（1）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；

（2）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；

（3）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；

（4）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．

【详解】（1）解：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴或，

∴，；

（2）解：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴或，

∴，；

（3）解：