21.2.4一元二次方程根与系数的关系【七大考点+七大题型】《考点•题型•技巧》讲与练高分突破-2025-2026学年九年级上册数学（人教版） 原卷版-A4.docxVIP

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21.2.4一元二次方程根与系数的关系

【考点归纳】

【知识梳理】

知识点一：一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：?=b2

①当?=b2

②当?=b2

③当?=b2

知识点二：一元二次方程根与系数的关系

如果方程有两个实数根，那么

知识点三：有关根与系数的关系的两个重要推论

（1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是

（2）如果方程的两个实数根是，那么

【题型探究】

题型一：一元二次方程根与系数的关系

【例1】．（24-25九年级上·贵州遵义）若是一元二次方程的两个根，则（????）

A．4 B． C．7 D．

【跟踪训练1】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是．

【跟踪训练2】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则．

题型二：由根与系数的关系直接求代数式的值

【例2】．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为．

【跟踪训练1】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是．

【跟踪训练2】．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）一元二次方程的两根为，，则．

题型三：由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值

【例3】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，满足，那么的值为．

【跟踪训练1】．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）设实数m，n分别满足，，=．

【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国）若是方程的两个实数根，则代数式的值为．

题型四：由方程两根满足关系求字母的值

【例4】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（???）．

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【跟踪训练1】．（2025·河北沧州·模拟预测）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（???）

A． B． C．1 D．7

【跟踪训练2】．（2025·江西新余·二模）已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则（????）

A．2023 B．2024 C．2025 D．2026

题型五：不解方程由根与系数的关系判断根的问题

【例5】．（2025·河北邯郸·三模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（????）

A．没有实数根 B．两根互为相反数

C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4

【跟踪训练1】．（25-26九年级上·湖北武汉·开学考试）已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（????）

A． B． C． D．

【跟踪训练2】．（2025·河北邯郸·三模）已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（）

A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为

C．两根之积为 D．两根之和为

题型六：根与系数的关系和根的判别式的综合应用

【例6】．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

(1)求实数k的取值范围；

(2)若方程两实数根满足，求k的值

【跟踪训练1】．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的方程：．

(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．

(2)设，是方程的两个根，且，求m的值．

【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若，求的值；

(3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围．

题型七：根与系数关系中的新定义问题

【例7】．（2023·湖北黄石·一模）阅读理解材料：已知实数满足，且．

根据材料．求的值．

解：由题知是方程的两个不相等的实数根，

根据一元二次方程根与系数的关系得，

．

解决以下问题：

(1)方程的两个实数根为，则___________，___________．

(2)已知实数满足，且，求的值．

(3)已知实数满足，且，求的值．

【跟踪训练1】．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．

(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．

①；②；③；④．

(2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：

①请求出k的值；

②求方程的两个根．

【跟踪训练2】．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如果方程的两个根是、，那么，请根据以上结论解决下列问题．

(1)已知关于的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根