高考数学一轮复习（新高考版）高考中的立体几何问题.pdfVIP

高考专题突破四高考中的立体几何问题

,题型一空间角的求法多维探究

命题点1线线角

例1如图所示，在三棱柱A8C—A141G中，A4|_L底面ABC,AB=BC=AA,/A8C90。,

}

点、E,F分别是棱AB,/।的中点，试求直线E尸和所成的角.

解以B为原点，分别以直线BC,BA为x,y,z轴，建立空间直角坐标系(如图).

y

设AB1,则8(0,0,0),目0,0),[°，°，｛)，Ci(l,O,D，

所以济=(。，；),比尸(1,0,1).

于是cos(病],£?_BC\EF_2_1

阮诲堂x62

所以直线EF和BG所成角的大小为60°.

思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,争|,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量央角的

余弦值的绝对值.

跟踪训练1(1)如图所示，在棱长为2的正方体ABC力一小中，七是棱CG的中点，

AF

=扬，若异面直线。E和A1所成角的余弦值为喘，则2的值为.

答案5

解析以。为原点，以Q4,OC,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（图略），正

方体的棱长为2,

则4(2,02),2(0,0,2),碘,2,1),4(2,0,0),

・・・弟=(0,2,-1),乖=原+能=与杨=(一2.,0,-2).

MFD^E2_3^2

/.cosA|F,D\E)一1乖1两一2也由xvrio

解得％=1（=一；舍）

2（）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCO中，,N分别为3C,人。的

中点，则直线4和CN夹角的余弦值为.

2

答案

-

3

解析以C｛A,CB,CQ｝作为基底，

—►——►—►I——►I—►—►

则A=C4—C=CA—5C8,CN=](CA+CO).

设向量诙与总的夹角为8,

则直线4和CN夹角的余弦值等于|cos0\.

CNMA-1(C4+CD)[cA

2

=^CA-^CACB^CI)CA-^CI)CB

11,111

^=———-4--^——^=一

28十482-

又△ABC和AAC。均为等边三角形，

所以|拓=|两=乎.

加-2

2

-

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2