专题03 导数构造法大全培优归类（16题型）（解析版）.docxVIP

专题03导数构造法大全培优归类

题型1比大小:构造对数幂型函数

.构造对数幂型：

比较常见的对数幂型函数图像

1．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，，则的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.

【详解】因为，，，构造函数，

因为，由，得到，

由，得到，所以在区间上单调递减，

因为，，，

因为，所以，故选项A，C，D错误，选项B正确，

故选：B.

2．（24-25高三安徽蚌埠·模拟）已知，则a，b，c的大小顺序为（???）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，可得的大小.

【详解】，

令，则，

当时，，函数在上单调递减，

又，所以，所以，所以.

故选：B.

3．（24-25高san·河南·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，求导得函数单调性，进一步即可比较大小.

【详解】因为，，，

构造函数，求导得，

令，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以.

故选：A.

4．（24-25高三·重庆·阶段练习）若，，，则（???）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，借助导数研究在上的单调性，利用单调性得到，，将变形，利用函数在上单调性得到，即可得解.

【详解】因为，所以令，.

令，解得.

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减.

因为，所以，即；

因为，所以，即.

而和，则

综上可知，.

故选：D

题型2比大小:构造指数幂型函数

构造指数幂型：

比较常见的指数幂型函数图像

1．（24-25高三·山东聊城·阶段练习）已知实数分别满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将变形为，观察可发现这与形式相同，且易知，.构造，求导可得在上单调递增.从而可推出，代入即可得到结果.

【详解】由可得，，则，

即，又，

所以，且，.

令，则，当时，恒成立，

所以，在上单调递增.

又，，，所以.

所以，.

故选：A.

2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意通过构造函数来比较大小，再利用即可求解.

【详解】由题知，，故构造函数，

则，当时，，所以在单调递增，

而，所以，所以，

设，，当时，，

所以在单调递增，则时，，

则，综上可知.

故选：A.

3．（24-25高三河南郑州·模拟）已知且，且，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件变形可得，，，构造函数，，求导判断单调性，利用单调性求解判断.

【详解】由，可得，，

同理，可得，，，，

令，，则，

当时，，即单调递减，

当时，，即单调递增，

，又，则，

，则，，则，

即，且，，，

由在上单调递增，所以.

故选：D.

4．（24-25高三安徽·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦函数的单调性可得，构造函数，由函数单调性可得，即可得出大小关系.

【详解】因为余弦函数在上单调递减，且，

所以；

因为，，

设，则，

所以在上单调递增，所以，

所以，所以.

故选：D．

题型3比大小:同构

把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题．

利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究．

常见的同构函数有：①f(x)＝eq\f(lnx,x)；②f(x)＝xlnx；③f(x)＝xex；④f(x)＝eq\f(x,ex).

其中①④可以借助eq\f(lnx,x)＝eq\f(lnx,elnx)＝eq\f(t,et)，②③可以借助xex＝(lnex)ex＝(lnt)t＝tlnt进行指对互化．

1．（2022·全国·模拟预测）已知函数（e是自然对数的底数），若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（????）

A．e B． C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的形式，构造新函数，利用导数的性质，结合新函数的单调性进行求解即可.

【详解】由，得，所以，所以，当时，显然.令，，则由得，，因为，所以，

在上单调递增，所以，则，即.设，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则，，所以实数a的最小值为，

故选：B.

【点睛】关键点睛：根据两次构造新函数，利用导数的性质判断新函数