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专题05高中全部补充函数培优归类
题型1对勾函数型
对勾函数：图像特征
形如称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处）
1.（23-24高三·黑龙江哈尔滨·模拟）已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对实数分、、三种情况讨论，求出函数的最大值和最小值，由题意得出，由此可求出实数的取值范围.
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，且，，此时，；
①若时，函数在区间上单调递减，则，即，
那么，当时，，，
由题意可得，则有，解得，此时，；
②当时，且当时，，则，，成立，此时；
③当时，函数在区间上单调递增，则，即，则，，
由题意可得，则有，解得，此时.
综上所述，.故选B.
【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
2.（22-23高三上·广东清远·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，即可得解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
且，
所以，函数为偶函数，
当时，
且不恒为零，所以，函数在上为增函数，
由可得，则，可得，
整理可得，解得.故选：D.
3.（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，若，，，则有（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得为偶函数，则，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得，，，又当时，由，可得为单调递增函数，即可得到答案.
【详解】因为函数且定义域为R，则，所以为偶函数，
因为，
则，
又，，，
，，
则，所以，
当时，因为，所以为单调递增函数，
所以.故选：B.
4.（2020·湖南娄底·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则关于x的不等式的解集是（????）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】根据是偶函数求得，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于，解不等式即可.
【详解】∵是偶函数∴，即
化简得∴，（，）,
时都能得到，所以在上是增函数
∴（，）为偶函数且在上是增函数，
∴，，即，即或
解得或.即.故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题.
题型2双曲函数
双曲函数（双刀函数）
1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax
2.“零点”：解方程（即方程等0处）
1.（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（???）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先研究函数是奇函数，再求导，用均值不等式和余弦函数特点，知道函数在整个取值范围递增.利用奇函数性质变成，结合单调性得出.
参变分离，转化为求的最值即可.
【详解】因为，所以为奇函数，
又，故在上单调递增，
由，得，所以，
若，，即，只需，
令，由对勾函数的性质可知在上单调递增，
故，故.
故选：D.
2.（23-24高一下·河南濮阳·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（????）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义可得为奇函数，结合单调性可得，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为的定义域为，
且，即函数为奇函数，
又因为在上单调递增，
则在上也单调递增，
因为，即，
则，所以，
则，
当且仅当时，即，取等号.
所以的最小值为.
故选：D.
3.（24-25高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解即可.
【详解】因为，，
所以，所以函数为偶函数；
设，则，
因为，所以，，，所以，即
所以函数在上单调递增.
由函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，在上单调递减.
所以且.
故选：D
4.（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，则关于t的不等式的解集为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，判断出利用奇偶性、导数判断出的单调性，由得，再利用奇偶性、单调性解不等式可得答案.
【详解】，令，，所以为奇函数，
因为，所以为单调递增函数，
由得，即，
所以，解得.
故选：A.
题型3复合分式型“反比例”函数
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解
形如：。对称中为P
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