专题02 二次函数与一元二次方程、不等式（知识清单）（解析版）.docxVIP

专题02二次函数与一元二次方程、不等式

目录

01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。

【知能解读01】等式性质与不等式性质

【知能解读02】三个“二次”之间的关系

【知能解读03】基本不等式

03破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。

【重难点突破01】利用基本不等式求最值

【重难点突破02】不等式恒成立与能成立问题

【重难点突破03】含参一元二次不等式的解法

04辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。

【易混易错01】忽视不等式性质成立的条件致错

【易混易错02】忽视基本不等式应用的条件致错

【易混易错03】连续使用基本不等式忽略等号同时成立致错

【易混易错04】解分式不等式忽略分母不为零致错

05点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类

【方法技巧01】比较两数（式）的大小

【方法技巧02】利用不等式的性质求数（式）的范围

【方法技巧03】解一元二次不等式的步骤

【方法技巧04】基本不等式的实际应用

【方法技巧05】证明不等式

01等式性质与不等式性质

1、等式的性质

性质

文字表述

性质内容

注意

1

对称性

可逆

2

传递性

同向

3

可加、减性

可逆

4

可乘性

同向

5

可除性

同向

2、不等式的性质

性质

别名

性质内容

注意

1

对称性

ab?ba

可逆

2

传递性

ab，bc?ac

同向

3

可加性

ab?a＋cb＋c

可逆

4

可乘性

ab，c0?acbc

ab，c0?acbc

c的符号

5

同向可加性

ab，cd?a＋cb＋d

同向

6

正数同向可乘性

ab0，cd0?acbd

同向

7

正数乘方性

ab0?anbn(n∈N，n≥2)

同正

【真题实战】（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】选项A：

举反例：取，，，，则，，

显然不成立，因此A不恒成立；

选项B：

举反例：取，，，，则，，

显然不成立，故B不恒成立；

选项C：

由于指数函数是严格递增函数，和分别推出和，

因此恒成立，因此C恒成立；

选项D：

举反例：取，，，，则，，

显然不成立，因此D不恒成立.故选：C.

02三个“二次”之间的关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

方程ax2＋bx＋c＝0

(a0)的根

有两相异实根x1，x2(x1x2)

有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c0

(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

{x|x∈R}

ax2＋bx＋c0

(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

【真题实战】（2025·湖北黄冈·三模）已知集合，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于集合，，进一步化简为，

所以或.

对于集合，因式分解得，

所以或.

所以或.故选：C

03基本不等式

1、重要不等式：,（当且仅当时取号）.

变形公式：

2、基本不等式：

（1）基本不等式成立的条件：

（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号．

（3）算术平均数与几何平均数

设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，

基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3、利用基本不等式求最值

已知x0，y0，则

（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)

（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)．

【真题实战】（2025·北京·高考真题）已知，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A,当时，，故A错误；

对于BD，取，此时，

，故BD错误；

对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C.

01利用基本不等式求最值

法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系．

法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式．

法三、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况．

类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；

类型2：分母为多项式时

方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；

方法2：待定系数法，适用于所有的形式，

如分母为与，分子为，

设

∴，解得：

法四、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题．

法五、构造不等式法：寻找条件和问