成都市七中育才学校(新校区)中考数学二次函数和几何综合专题.docVIP

成都市七中育才学校(新校区)中考数学二次函数和几何综合专题

一、二次函数压轴题

1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．

（1）求点、点、点的坐标；

（2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究当为何值时，四边形是平行四边形；

（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．综合与探究

如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD、BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：

（1）求点A的坐标与直线l的表达式；

（2）①请直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时t的值；

②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值．

3．在正方形ABCD中，AB＝4cm，AC为对角线，AC上有一动点P，M是AB边的中点，连接PM、PB，设A、P两点间的距离为xcm，PM＋PB长度为ycm.

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：

x/cm

0

1

2

3

4

5

y/cm

6.0

4.8

4.5

6.0

7.4

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.

（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM＋PB的长度最小值约为______cm.

4．如图1，点EF在直线l的同一侧，要在直线l上找一点K，使KE与KF的距离之和最小，我们可以作出点E关于l的对称点E′，连接FE′交直线L于点K，则点K即为所求．

（1）（实践运用）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如图2．

①求该抛物线的解析式；

②在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，并求出此时点P的坐标及PA+PC的最小值．

（2）（知识拓展）在对称轴上找一点Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此时点Q的坐标．

5．如图，边长为5的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上第一象限内一点，过点作于点，点的坐标为．连接．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求的值；

（3）①在点运动过程中，当时，点的坐标为________；

②连接，在①的条件下，把沿轴平移（限定点在射线上），并使抛物线与的边始终有两个交点，探究点纵坐标的取值范围是多少？

6．如果抛物线C1：与抛物线C2：的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．

（1）求抛物线的“对顶”抛物线的表达式；

（2）将抛物线的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．

（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．

7．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y＝x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，

（1）该函数的解析式为，补全下表：

x

?

﹣4

﹣3

﹣2

﹣1

1

2

3

?

y

?

2

﹣1

﹣2

2

1

2

?

（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质：．

（3）结合你所画的图象与函数y＝x的图象，直接写出x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|≤x的解集．

8．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数的有关图象和性质”．探究过程如下：

（1）列表：问______．

x

…

0

1

2

…

y

…

6

2

0

0

0

2

m

…

（2）请在平面直角坐标系中画出图象．

（3）若方程（p为常数）有三个实数根，则______．

（4）试写出方程（p为常数）有两个实数根时，p的取值范围是______．

9．已知抛物线（n为正整数，且）与x轴的交点为和．当时，第1条抛物线与x轴的交点为和，其他以此类推．

（1）求的值及抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点的坐标为（_______，_______）；以此类推，第条抛物线的顶点的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_________．

（3）探究以下结论：

①是否存在抛物线