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第八章数列和无穷级数

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第1页，共97页，星期日，2025年，2月5日

第一节数项级数

1无穷级数的定义

2收敛级数的性质

3正项级数的性质及敛散性判别法

4任意项级数的绝对收敛和条件收敛

5交错级数

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一.数项级数的概念

中学:无穷等比级数aaqaq2......aqn1......

定义

设有数列u1,u2,,un,

将其各项依次累加所得的式子



称为数项无穷级数

u1u2unun

n1

问题:如何理解无穷个数相加?

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n

1.部分和:

Snuku1u2un

k1

部分和数列

2.:S1,S2,,Sn,



3.收敛:limSS称级数收敛unS

n

nn1

称为级数余项

rnSSn

极限不存在,称级数发散

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例.判断级数敛散性:

(1).1+2+3+…+n+…级数发散

n(n1)

S123n(n)

n2

111

(2).

1223n(n1)

11

u

nnn1

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111111111

S(1)()()1

n1223n(n1)223nn1n1

1(n)级数收敛

1

(3).ln(1)

n1n

n1

ulnln(n1)lnn

nn

Snln(n1)(n)级数发散

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

(4).aqnaaqaq2aqn

n0