高二数学期中考点大串讲（人教A版选择性必修第一册）专题06 直线与圆综合大题（期中专项训练）.docxVIP

壹加壹教辅资料Vyijiayi91100

专题06直线与圆综合大题

题型1求圆轨迹

题型6直线与圆：定值

题型2大题基础：韦达定理型（重点）

题型7直线与圆：定直线

题型3圆过定点

题型8两圆共切线应用

题型4面积最值（难点）

题型9直线与圆存在性

题型5直线与圆：过定点（常考点）

题型10第19题型综合（难点）

题型一、求圆轨迹（共3小题）

1．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点．

(1)求圆的方程；

(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹．

【答案】(1)

(2)以为圆心，为半径的圆

【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程．

（2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹.

【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上.

因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率，

所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:.

因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为.

又半径，所以圆的方程为:．

（2）设，．由，得,

所以即

因为点在圆上，所以，所以，

化简整理得的轨迹方程为:，

所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆．

2．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点，圆上两动点满足，四边形为矩形，求点的轨迹方程，并求的取值范围．（为原点）

??

【答案】，

【分析】根据对称性可得点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，进而可求的取值范围.

【详解】连接，由题可知图形关于的中垂线对称，故，

故点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，

所以的取值范围为.

3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知射线和，棍棒的两端分别在射线和上滑动，．

(1)求的最大值；

(2)设为的中点，求的取值范围；

(3)设为的中点，求点的轨迹．

【答案】(1)12

(2)

(3)点的轨迹是与原阿波罗尼斯圆等大小的圆

【分析】（1）由已知得出顶点的轨迹是圆心在直线上、半径的阿波罗尼斯圆上，即可求解的最大值；

（2）法一：由圆的性质即可求解；法二：由三角形中线长定理得，，设，则，即可求解的取值范围；

（3）建立平面直角坐标系，设，则，，由，得，化简即可得出点的轨迹．

【详解】（1）先证明：在平面上给定两点，设点在同一平面内且满足，当且时，点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆，

证明：不妨设，

若设，则，

整理得，

所以点的轨迹为圆心，半径为的圆，证毕；

由题可知，顶点的轨迹是圆心在直线上、半径的阿波罗尼斯圆．

所以．

（2）解法1：由圆的性质知．

解法2：先证明三角形中线长定理：

如图，在三角形中，为边上中线，则，

证明：，

所以

，证毕；

取中点，如图，由三角形中线长定理知：

，

设，则，

，所以．

（3）如图，建立平面直角坐标系．

设，则，，

由，得，

即，即，

所以点的轨迹是与原阿波罗尼斯圆等大小的圆，即图中的．

题型二、大题基础：韦达定理型（共3小题）

4．（2025高三·全国·专题练习）设为坐标原点，若椭圆与直线交于两点，且，圆过点．

(1)求的方程及圆的半径；

(2)若点在上，且，判断直线与圆的位置关系，并说明理由．

【答案】(1)的方程为，圆的半径为2；

(2)相交，理由见解析.

【分析】（1）设，联立直线与椭圆并应用韦达定理得，再由弦长公式列方程求椭圆参数，即可得方程，根据圆所过的点求圆的半径；

（2）讨论直线的斜率，不同情况下设直线的方程并联立椭圆，应用韦达定理及求参数关系，再应用点线距离与圆的半径大小判断位置关系即可.

【详解】（1）设，

联立，得，，

则，

即，解得，

故的方程为．

设圆的方程为，又圆过点，代入可得，故圆的半径为2．

（2）

??

直线的斜率不存在时，设直线的方程为，联立，

不妨令，

由，得，解得，

此时圆心到直线的距离为，故直线与圆相交．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，得，

则，

由得，即，

即，

故，解得，

设圆心到直线的距离为，

则，故直线与圆相交．

综上，直线与圆相交．

5．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知圆，直线．

(1)若直线与圆相切，求实数的值；

(2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解；

（2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解.

【详解】（1）由圆的一般方程可得标准