高二数学期中考点大串讲（人教A版选择性必修第一册）专题02 空间动点：距离、角度与截面（期中专项训练）.docxVIP

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专题02空间动点：距离、角度与截面

题型1三大角：异面直线夹角

题型9动点轨迹（重点）

题型2三大角：线面所成交

题型10动点截面：面积型（重点）

题型3三大角：二面角（常考点）

题型11动点截面：距离周长型

题型4三大距离：点线距离

题型12动点：恒平行型

题型5三大距离：点面距离（重点）

题型13动点：恒垂直型（重点）

题型6三大距离：线面距离

题型14外接球定心型

题型7动点范围：角度最值（难点）

题型15翻折型

题型8动点范围：距离最值

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题型一、三大角：异面直线夹角（共2小题）

1．（2025·福建三明·模拟预测）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可.

【详解】因为直三棱柱，所以底面，

又底面，所以，，

又因为，所以两两垂直，

以为轴建立如图所示坐标系，

设，则，，，，

所以，，

设直线与直线所成角为，

则，

所以直线与直线所成角的余弦值为.

故选：B

2．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设空间的一组基底，将直线BE与DF的方向向量用基底表示，再利用空间向量的夹角公式即可求得.

【详解】

如图，设正方体棱长为4，，

则，.

因，

，

则，故，

，故，

且，

则，

设BE与DF所成的角为，则.

故选：C.

题型二、三大角：线面所成角（共2小题）

3．（25-26高二上·全国·课后作业）是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的角的余弦值是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】方法一：三条射线两两所成的角均为,不容易直接建系.可以把放入正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，可满足两两的夹角均为．因此在正方体中建立空间直角坐标系，先求出直线与平面所成的角的正弦值，再根据同角三角函数关系式求出其余弦值.

方法二：把放入正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，可满足两两的夹角均为．与平面不相交的体对角线CD与与平面垂直，正方体中，易知与所成角的正弦值，即为直线与平面所成的角的余弦值.

方法三：过点向平面做垂线，可得直线与平面所的成的角.

【详解】方法一：如图所示，把放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则两两的夹角均为．

建立如图所示的空间直角坐标系（其中为原点），设正方体的棱长为1，

则，，，，所以，，，

设平面的法向量，则

令，则，，所以，

所以．

设直线与平面所成的角为，所以，

所以.

故选：B.

方法二:

如图所示，把放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则两两的夹角均为．

正方体中，点出发的体对角线与平面垂直，所以直线与对角线所成的角的正弦值，即为直线与平面所成的角(记为）的余弦值.

.

故选：B.

方法三:

设射线在平面的射影为射线，则直线与直线的夹角即为直线与平面所成的角.由最小角定理可得，．

由两两的夹角均为，易得是的角平分线，所以．

又，故．

故选：B.

4．（25-26高三上·福建福州·开学考试）在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法即可求得答案.

【详解】设三棱柱的棱长为1，以B为原点，

以过B作的垂线为x轴，以为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，如图，

则，所以，

易知平面的一个法向量可取为，

设直线与平面所成角为，，

则.

故选：A

题型三、三大角：二面角（共2小题）

5．（2025高三·全国·专题练习）如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解.

【详解】由题意知平面平面，如图，连接，

因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则．

设平面的法向量为，则得

取，则，得平面的一个法向量为．

易知平面的一个法向量为，

则．由图知，二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

故选:A．

6．（2025·四川成都·三模）如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交