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极限的试题及答案题库

一、单选题

1.下列数列中，收敛的是（）（2分）

A.1,-1,1,-1,...

B.1/2,1/4,1/8,1/16,...

C.2,4,6,8,...

D.1,1/2,1/3,1/4,...

【答案】B

【解析】数列B是等比数列，公比为1/2，且公比的绝对值小于1，因此该数列收敛。

2.极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)等于（）（2分）

A.0

B.2

C.4

D.不存在

【答案】C

【解析】通过分子分母因式分解，lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x+2)(x-2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4。

3.下列函数在x=0处连续的是（）（2分）

A.f(x)=1/x

B.f(x)=|x|

C.f(x)=1/x^2

D.f(x)=sin(x)/x

【答案】B

【解析】函数B在x=0处有定义且极限存在，因此连续。

4.极限lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+4)等于（）（2分）

A.0

B.1/5

C.3/5

D.∞

【答案】C

【解析】通过分子分母同除以x^2，lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+4)=lim(x→∞)(3+2/x+1/x^2)/(5-3/x+4/x^2)=3/5。

5.下列极限中，等于1的是（）（2分）

A.lim(x→0)sin(x)/x

B.lim(x→0)cos(x)/x

C.lim(x→0)e^x-1/x

D.lim(x→0)x/sin(x)

【答案】D

【解析】根据标准极限，lim(x→0)x/sin(x)=1。

6.下列函数在x=0处可导的是（）（2分）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

【答案】B

【解析】函数B在x=0处可导且导数为0。

7.极限lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)等于（）（2分）

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】D

【解析】通过分子分母因式分解，lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)=lim(x→1)((x-1)(x^2+x+1))/(x-1)=lim(x→1)(x^2+x+1)=3。

8.下列数列中，收敛的是（）（2分）

A.1,2,3,4,...

B.1,1/2,1/3,1/4,...

C.1,-1,1,-1,...

D.1,1/2,1/4,1/8,...

【答案】D

【解析】数列D是等比数列，公比为1/2，且公比的绝对值小于1，因此该数列收敛。

9.极限lim(x→0)(e^x-1)/x等于（）（2分）

A.0

B.1

C.e

D.不存在

【答案】B

【解析】根据标准极限，lim(x→0)(e^x-1)/x=1。

10.下列函数在x=0处连续且可导的是（）（2分）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=e^x

【答案】D

【解析】函数D在x=0处连续且可导，导数为1。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是极限的性质？（）

A.唯一性

B.局部有界性

C.夹逼定理

D.极限存在则函数连续

E.极限与无穷小关系

【答案】A、C、E

【解析】极限的唯一性、夹逼定理以及极限与无穷小的关系都是极限的重要性质。极限存在不一定函数连续，因此D不正确。

2.以下哪些数列收敛？（）

A.1/2,1/4,1/8,1/16,...

B.1,-1,1,-1,...

C.1,1/2,1/3,1/4,...

D.1,2,3,4,...

E.1,1/2,1/4,1/8,...

【答案】A、E

【解析】数列A和E是等比数列，公比的绝对值小于1，因此收敛。其他数列发散。

3.以下哪些函数在x=0处连续？（）

A.f(x)=1/x

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^2

D.f(x)=sin(x)

E.f(x)=e^x

【答案】B、C、D、E

【解析】函数B、C、D、E在x=0处有定义且极限存在，因此连续。函数A在x=0处无定义，因此不连续。

4.以下哪些极限等于1？（）

A.lim(x→0)sin(x)/x

B.lim(x→0)cos(x)/x

C.lim(x→0)x/sin(x)

D.lim(x→0)e^x-1/x

E.lim(x→0)1/x

【答案】A、C

【解析】根据标准极限，lim(x→0)sin(x)/x=1，lim(x→0)x/sin(x)=1。其他极限不等于1。

5.以下哪些函数在x=0处可导？（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

E.f(x)=e^x

【答案】B、C、E

【解析】函数B、C、E在x=0处可导。函数A在x=0处不可导，函数D在x=0处无定义，因此不可导。

三、填空题