相似三角形知识点巩固训练.docxVIP

相似三角形知识点巩固训练

几何学中，相似形是一个充满魅力的领域，而相似三角形则是其中的核心基石。它不仅揭示了图形之间的缩放关系，更为我们解决复杂几何问题提供了强大的工具。无论是在证明线段比例关系、求解未知长度，还是在解决实际生活中的测量问题，相似三角形的知识都扮演着不可或缺的角色。本次巩固训练，我们将深入回顾相似三角形的定义、判定与性质，并通过典型例题的剖析与针对性练习，帮助同学们夯实基础，提升运用能力。

一、核心知识点回顾与梳理

相似三角形的学习，需从其本质定义出发，逐步掌握判定方法，并灵活运用其性质。

（一）相似三角形的定义

如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。例如，若△ABC与△DEF相似，则记作△ABC∽△DEF。

注意：对应顶点的字母应写在对应的位置上，这有助于快速识别对应角和对应边。

（二）相似三角形的判定方法

判定两个三角形相似，是解决相似三角形问题的第一步，也是关键一步。主要判定方法有：

1.定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（此方法作为理论基础，实际判定中较少直接使用）

2.平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（常作为“AA”判定的先导）

3.AA（两角对应相等）判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

*（由三角形内角和定理可知，若两角对应相等，则第三角也必然相等，故“AA”即可）

4.SAS（两边对应成比例且夹角相等）判定定理：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

*强调：此处的“夹角”至关重要，若不是夹角，即使两边成比例，也不能判定相似。

5.SSS（三边对应成比例）判定定理：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（三）相似三角形的性质

一旦判定两个三角形相似，我们就可以利用其性质解决问题：

1.对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。

2.对应边成比例：相似三角形的对应边长度的比相等，这个比值称为相似比（用k表示）。

3.对应线段成比例：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

4.周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。

5.面积比等于相似比的平方：两个相似三角形的面积之比等于它们相似比的平方。

*注意：面积比与相似比是平方关系，这是同学们极易混淆的知识点，需特别留意。

二、易错点辨析与强调

在相似三角形的学习中，以下几点需要格外注意，以避免常见错误：

1.对应关系的准确性：无论是写相似表达式，还是应用性质求边或角，找准对应顶点、对应角、对应边是前提。切勿因对应关系混乱而导致计算错误。可以通过标记角、按字母顺序或图形位置来辅助判断。

2.“SSA”的陷阱：要牢记，两边对应成比例且其中一边的对角相等（即“SSA”），并不能判定两个三角形相似，这一点与全等三角形的判定类似。

3.相似比的顺序性：相似比k是有顺序的。若△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF∽△ABC的相似比为1/k。

4.面积比与相似比的关系：务必区分清楚周长比、对应线段比与面积比的差异，面积比是相似比的平方，而非简单的相似比。

三、典型例题精析

掌握了知识点和易错点，我们通过几个典型例题来体会相似三角形的应用思路与方法。

例题1：基础判定与性质应用

已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。若AD=3，DB=2，BC=6，求DE的长。

分析：

首先，由DE∥BC，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”或直接利用“平行法”判定△ADE∽△ABC。

相似三角形的对应边成比例，这里的对应边是AD对应AB，AE对应AC，DE对应BC。

已知AD=3，DB=2，所以AB=AD+DB=5。相似比k=AD/AB=3/5。

因此，DE/BC=k，即DE/6=3/5，解得DE=18/5=3.6。

解答：

∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）

∴AD/AB=DE/BC（相似三角形对应边成比例）

∵AD=3，DB=2

∴AB=AD+DB=3+2=5

∴3/5=DE/6

∴DE=(3×6)/5=18/5

例题2：综合判定与面积问题

已知△ABC与△ABC相似，相似比为2:3，△ABC的面积为12，求△ABC的面积。

分析：

题目直接给出了相似比，并告知其中一个三角形的面