高等数学--函数展开成幂级数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.pptVIP

第四节第十二章

函数展开成幂级数

两类问题:在收敛域内

求和

n和函数

幂级数anxS(x)

n0展开

本节内容:

一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数

1/22

一、泰勒(Taylor)级数

复习:f(x)n阶泰勒公式

若函数

f(x)在x0某邻域内含有n+1阶导数,则在

该邻域内有:

f(x0)2

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx)

2!0

f(n)(x)

0(xx)nR(x)

n!0n

(n1)

f()

其中R(x)(xx)n1(在x与x之间)

n(n1)!00

称为拉格朗日余项.

2/22

若函数某邻域内含有任意阶导数则称

f(x)在x0,

f(x)

f(x)f(x)(xx)0(xx)2

0002!0

f(n)(x)

0(xx)n

n!0

为f(x)泰勒级数.

当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.

待处理问题:

1)对此级数,它收敛域是什么？

2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?

3/22

定理设函数在点某一邻域内含有

1f(x)x0U(x0)

各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数充要

条件是f(x)泰勒公式余项满足:limRn(x)0.

n

(n)

f(x0)n

证实f(x)(xx0),xU(x0)

n0n!

n(k)

令f(x0)k

Sn1(x)(xx0)

k0k!

f(x)Sn1(x)Rn(x)

limRn(x)limf(x)Sn1(x)0,xU(x0)

nn

4/22

定理2若f(x)能展成x幂级数,则这种展开式是

唯一,且与它麦克劳林级数相同.

证设f(x)所展成幂级数为

2n

f(x)a0a1xa2xanx,x(R,R)

则