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数学教学勾股定理课堂实录
一、课堂导入：情境激趣，旧知引新
（上课铃响，师生互致问候）
师：同学们，我们已经学习了三角形的一些基本性质，谁能说说我们学过哪些特殊的三角形？它们各自有什么特点？
（学生稍作思考，举手）
生1：我们学过等腰三角形，它有两条边相等，两个底角也相等。还有等边三角形，三条边都相等，三个角都是60度。
师：非常好。那我们还学过一种非常重要的特殊三角形，它有一个角是——？
生（齐）：直角！
师：对，直角三角形。我们知道它有一个角是90度，另外两个角互余。那么，除了角的关系，直角三角形的三条边之间是否存在某种特殊的数量关系呢？今天这节课，我们就一同走进直角三角形的世界，去探索它三条边之间的奥秘。（板书课题：勾股定理）
（教师PPT展示古代建筑中的直角结构图片，如墙角、台阶等）
师：大家看这些图片，无论是宏伟的建筑还是日常的物件，直角都无处不在。工匠们在营造这些结构时，如何确保直角的准确性呢？这其中就蕴含着我们今天要学习的数学原理。
二、新知探究：动手操作，发现规律
师：请同学们拿出课前准备好的方格纸、直角三角板（两条直角边分别为3cm、4cm，另一个为5cm、12cm）、剪刀和尺子。我们先来研究这个等腰直角三角形（教师展示一个腰长为1的等腰直角三角形模型）。
活动一：探究等腰直角三角形三边关系
师：请大家在方格纸上画一个顶点都在格点上的等腰直角三角形，使它的两条直角边都等于1个单位长度。然后，以这个三角形的三条边为边长，分别向外作三个正方形。（教师在黑板上示范作图）
（学生动手操作，教师巡视指导，提醒学生注意正方形的每个顶点都应在格点上）
师：好，大部分同学都完成了。现在，请大家思考一下，如何求出这三个正方形的面积？（引导学生观察方格纸）
生2：直角边上的两个小正方形，边长都是1，所以面积都是1×1=1。
师：那斜边上的那个大正方形呢？它的面积怎么求？
（学生讨论，有的在数方格，有的在思考）
生3：老师，我可以用“割补法”吗？把大正方形外面多出来的部分割下来补到里面去。我数了一下，完整的小方格有4个，边上不完整的可以拼成2个，一共是6个？不对，好像不对……
师：（微笑）思路是对的，割补法是求格点图形面积的好方法。大家再仔细看看，这个大正方形的边长是多少？或者，我们能不能用其他方法？比如，这个大正方形是不是正好在一个更大的正方形里面？
（学生恍然大悟）
生4：哦！我看到了！这个等腰直角三角形所在的方格纸，如果以斜边为一边，外面可以框一个边长为2的大正方形，这个大正方形的面积是4。然后减去四个角上的小等腰直角三角形，每个小三角形的面积是（1×1）÷2=0.5，四个就是2。所以，斜边上的正方形面积就是4-2=2！
师：非常精彩！用“大正方形面积减去四个直角三角形面积”，这种“补形法”也很巧妙。所以，这个斜边上的正方形面积是2。
师：现在，请大家把这三个正方形的面积记录下来。我们发现：两个小正方形的面积之和是1+1=2，正好等于斜边上大正方形的面积。那么，这三个正方形的面积与直角三角形的三条边有什么关系呢？
生（齐）：面积等于边长的平方！
师：所以，我们是不是可以得到：两条直角边的平方和，等于斜边的平方？对于这个等腰直角三角形，就是12+12=(√2)2。虽然√2我们还没学，但这个关系是明确的。
活动二：探究一般直角三角形三边关系
师：很好！这是一个特殊的直角三角形（等腰直角三角形）的情况。那么，对于一般的直角三角形，这个关系还成立吗？我们再来做一个实验。请大家拿出另一个直角三角板，它的两条直角边分别为3和4（单位长度）。同样，在方格纸上画出这个直角三角形，并分别以三条边为边长向外作正方形。这一次，三个正方形的面积又有什么关系呢？
（学生分组合作，有的负责画图，有的负责计算面积。教师巡视，参与小组讨论，对有困难的小组进行引导）
师：哪个小组愿意分享你们的成果？
小组代表1：我们组计算的直角边为3和4的直角三角形。两条直角边上的正方形面积分别是32=9和42=16。斜边上的正方形面积，我们用了数格子和割补法结合，数出完整格子有25个，所以面积是25。9+16=25，所以斜边上正方形的面积还是等于两个直角边上正方形面积之和！
师：25是谁的平方？
生（齐）：5的平方！
师：那么，我们是不是可以得到32+42=52？
生（齐）：是！
师：非常好！通过这两个例子，一个等腰直角三角形，一个两直角边不相等的直角三角形，我们似乎都发现了一个共同的规律：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。这是不是一个普遍的规律呢？
三、定理证明：严谨推理，深化理解
师：仅凭两个特例还不足以形成定理，我们需要更一般的证明。其实，古往今来，人们对这个定理的证明方法有很多种。今天，我们来学习一种我国古代数学家赵爽的证明方法，非常巧
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