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高中数学抽象函数专题讲解

在高中数学的学习旅程中，函数无疑是核心中的核心。而在函数这个大家族里，抽象函数因其“抽象”二字，常常让同学们感到困惑与畏惧。它不像具体函数那样，能清晰地给出解析式，让我们可以代入计算、描绘图像。抽象函数更像是一位“犹抱琵琶半遮面”的舞者，只通过一些间接的性质来展现其特征。本文旨在带领大家深入理解抽象函数的本质，掌握解决抽象函数问题的常用策略与技巧，从而揭开它神秘的面纱，化抽象为具体，化未知为已知。

一、抽象函数的核心认知：拨开迷雾见本质

什么是抽象函数？

简单来说，抽象函数就是指没有给出具体的函数解析式，只给出了函数所满足的一些性质（如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性，或者函数满足的某些特定运算关系式）的函数。

例如：“已知函数f(x)对任意实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=a”，这样的函数f(x)就是一个抽象函数。我们并不知道它具体是y=ax，还是其他什么形式，但我们可以通过它满足的这个运算关系式去探究它的其他性质。

抽象函数的“抽象”之处何在？

1.缺乏具体表达式：无法直接代入求值、画图，只能通过给定的性质进行逻辑推理。

2.性质的间接性：给定的性质往往不是直观的，需要深入理解和转化。

3.思维的抽象性：解决问题时，需要较强的抽象思维能力和逻辑推理能力，有时还需要构造辅助函数或利用特殊值进行探索。

为何要学习抽象函数？

抽象函数的学习，是对我们数学抽象思维能力、逻辑推理能力和综合运用数学知识能力的重要锤炼。它能帮助我们更深刻地理解函数的本质——函数是两个非空数集之间的一种确定的对应关系，而不仅仅是一个表达式。许多重要的数学概念和定理，最初都是以抽象的形式出现的。

二、抽象函数问题的解题策略与常用技巧

面对抽象函数问题，我们不能望而生畏，而应积极寻找突破口。以下是一些常用的解题策略与技巧：

1.赋值法：特殊值探路，化抽象为具体

赋值法是解决抽象函数问题最基本、最常用的方法。通过对函数的自变量赋予特殊的值（如0、1、-1，或与已知条件相关的其他值），可以求出函数的某些特定函数值，或判断函数的奇偶性、单调性等性质。

关键点：

*明确赋值目的：是求函数值？判断奇偶性？还是探求单调性的线索？

*常用赋值：令x=0,y=0；令y=-x；令y=x；令x=1,y=1等，具体视题目条件而定。

*赋值后要善于观察和分析所得等式，进行变形和推导。

例如，对于满足f(x+y)=f(x)+f(y)的函数，令x=0,y=0可得f(0)=0；令y=-x可得f(-x)=-f(x)，从而判断其为奇函数。

2.利用函数性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性的综合运用

如果题目中给出或通过赋值法等手段可以判断出函数的单调性、奇偶性、周期性或对称性，那么这些性质将成为我们解决问题的有力工具。

单调性：常用于比较函数值大小、解抽象不等式。若f(x)单调递增，且f(a)f(b)，则ab。

奇偶性：常用于将f(-x)与f(x)进行转化，简化运算或证明。

周期性：可以将不在已知区间内的自变量值转化到已知区间内进行研究。若T是f(x)的周期，则f(x+T)=f(x)。

对称性：如关于y轴对称（偶函数）、关于原点对称（奇函数）、关于直线x=a对称或关于点(a,b)中心对称等，对称性能帮助我们画出函数的大致图像或找到函数值之间的关系。

3.模型化思想：联想具体函数，搭建思维桥梁

虽然抽象函数没有给出具体解析式，但很多抽象函数的“原型”是我们学过的基本初等函数。根据题目中给出的函数性质，联想其可能对应的具体函数模型，有助于我们找到解题思路，进行合理猜想。

常见抽象函数模型举例：

*f(x+y)=f(x)+f(y)：正比例函数模型f(x)=kx(k为常数)。

*f(x+y)=f(x)·f(y)或f(x-y)=f(x)/f(y)：指数函数模型f(x)=a^x(a0且a≠1)。

*f(xy)=f(x)+f(y)或f(x/y)=f(x)-f(y)：对数函数模型f(x)=log_ax(a0且a≠1)。

*f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))：正切函数模型f(x)=tanx(特定条件下)。

注意：模型化思想主要用于启发思路和进行猜想，不能直接将模型函数的所有性质不加证明地套用到抽象函数上，猜想后仍需严格证明。

4.数形结合思想：勾勒函数草图，直观辅助分析

虽然抽象函数没有具体解析式，但根据其已知的单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质，我们可以尝试勾勒出函数的大致图像。图像的直观性往往能帮助我们快速找到解题的突破口，尤其是在解不等式或比较大小问题时。

5.构