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八年级数学竞赛专题19平行四边形、矩形、菱形

同学们，我们今天要深入探讨的是一类非常重要的平面图形——平行四边形，以及它的两位“近亲”——矩形和菱形。这些图形不仅在我们的日常生活中随处可见，更是平面几何的基础与核心，尤其在各类数学竞赛中，它们的身影更是频繁出现，并且常常与其他几何知识巧妙结合，形成颇具挑战性的题目。掌握好它们的性质与判定，无异于为我们解决复杂几何问题配备了一把锋利的“钥匙”。

一、平行四边形：几何世界的“基石”

我们先来认识这个家族中最基本的成员——平行四边形。顾名思义，它的名字就揭示了它最核心的特征。

（一）平行四边形的定义与性质

定义：两组对边分别平行的四边形，我们称之为平行四边形。这个定义是我们研究其一切性质的出发点。

从这个简洁的定义出发，我们可以推导出平行四边形的一系列重要性质，这些性质是我们解决相关问题的“利器”：

首先，既然两组对边分别平行，那么平行四边形的对边自然是相等的，这不仅仅是长度上的相等，更是位置关系平行所带来的必然结果。同样地，它的对角也是相等的，相邻的两个角则互补，因为它们构成了同旁内角。

其次，平行四边形的对角线具有互相平分的特性。也就是说，连接平行四边形不相邻两个顶点的线段，会在它们的交点处被平均分成两段。这个性质在处理与线段中点、线段长度关系相关的问题时非常有用。

我们还需要注意到，平行四边形是中心对称图形，它的对称中心就是两条对角线的交点。理解这一点，有助于我们从图形变换的角度思考问题，往往能带来意想不到的简便。

（二）平行四边形的判定

仅仅知道性质是不够的，更重要的是如何判断一个四边形是不是平行四边形。除了依据定义（两组对边分别平行）外，我们还有其他几种常用的判定方法：

如果一个四边形中，两组对边分别相等，那么它就是平行四边形。这可以看作是对边平行性质的一个逆用。

或者，一组对边平行且相等的四边形，也是平行四边形。这个判定方法非常实用，因为它只需要考虑一组对边的情况，条件相对简洁。

从角的角度来看，如果一个四边形的两组对角分别相等，那么它也是平行四边形。

最后，我们还可以通过对角线来判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

这些判定方法，需要我们在具体题目中灵活运用，有时甚至需要综合运用多种方法进行判断。

（三）平行四边形的应用与解题技巧

在竞赛题中，平行四边形常常不是孤立出现的。它可能与三角形的全等、相似，与图形的面积计算，甚至与动态几何问题结合在一起。

辅助线添加是解决平行四边形问题的常用手段。例如，当题目中涉及到对角线时，我们常常会连接对角线，利用其互相平分的性质；或者，过平行四边形的某个顶点作高，将其转化为直角三角形或矩形来解决问题。有时，我们也会通过平移、旋转等方式，构造出平行四边形，从而将分散的条件集中起来。

面积计算也是平行四边形问题中的一个重点。我们知道，平行四边形的面积等于底乘以高（S=底×高）。这里的“底”和“高”是对应的，高是底边上的高。在一些复杂图形中，巧妙地选择底和高，或者利用等底等高的平行四边形面积相等这一性质，都能帮助我们快速解题。

例题解析：

已知：在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、BF。

求证：四边形DEBF是平行四边形。

分析：要证四边形DEBF是平行四边形，我们可以从边、角、对角线等多个角度入手。考虑到E、F分别是AB、CD的中点，且ABCD是平行四边形，AB平行且等于CD，那么BE和DF的关系就很明显了。

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD。

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE=1/2AB，DF=1/2CD。

∴BE=DF。

又∵AB∥CD，即BE∥DF。

∴四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

这道题就直接运用了平行四边形的性质和判定方法，思路相对直接。但在更复杂的题目中，可能需要我们进行多步推理和转化。

二、矩形：特殊的平行四边形

接下来，我们来认识平行四边形家族中一位“特殊成员”——矩形，也就是我们常说的长方形。

（一）矩形的定义与性质

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。这个定义告诉我们，矩形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质。但因为它多了一个“直角”的条件，所以又衍生出一些独特的性质。

除了平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分外，矩形的特殊性质主要体现在：

矩形的四个角都是直角。这使得矩形在角度计算和构造直角三角形方面具有天然的优势。

矩形的对角线不仅互相平分，而且长度相等。这是矩形非常重要的一个性质，也是它区别于一般平行四边形的显著标志之一。想象一下我们生活中的长方形门框、书本，它们的对角线长度相等，这保证了其结构的稳定性。

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