逆矩阵的几种求法与解析.docxVIP

逆矩阵的几种求法与解析

在矩阵代数的广阔领域中，逆矩阵如同一位神秘而重要的角色，它不仅是线性方程组求解的关键钥匙，也是矩阵理论中许多深刻概念的基石。理解并掌握逆矩阵的求法，对于深入研习线性代数乃至其在工程、经济、物理等众多学科的应用，都具有不可替代的意义。本文将系统梳理逆矩阵的若干种经典求法，剖析其内在原理，并结合实例探讨各自的适用场景与优劣，以期为读者提供一份既有理论深度又具实用价值的参考。

一、逆矩阵的定义与存在性

在探讨求法之前，我们首先需明确逆矩阵的“身份”。对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得

AB=BA=E

其中E为n阶单位矩阵，那么我们称矩阵A是可逆的（或非奇异的），并称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作A?1。

一个方阵A可逆的充分必要条件是其行列式det(A)≠0。这一判据至关重要，它不仅告诉我们何时可以去寻求逆矩阵，也为某些求逆方法提供了理论依据。若det(A)=0，则称A为奇异矩阵，其逆矩阵不存在。

二、逆矩阵的几种求法

2.1定义法（尝试法）

顾名思义，定义法是直接依据逆矩阵的定义来寻找B。即对于给定的A，若能找到B使得AB=E（或BA=E，对于方阵而言二者等价），则B即为A?1。

原理：直接利用逆矩阵定义AB=E。对于简单的低阶矩阵，特别是二阶矩阵，我们可以通过待定系数法设出B的元素，然后根据矩阵乘法法则列出方程组，求解出B的各元素。

步骤：

1.设B为与A同阶的方阵，其元素为待求未知数。

2.计算矩阵乘积AB。

3.令AB的各元素等于单位矩阵E的对应元素，得到线性方程组。

4.解此方程组，若有唯一解，则该解构成的矩阵B即为A?1；若无解或无穷多解，则A不可逆。

例题：求矩阵A=[[1,2],[3,4]]的逆矩阵。

解：设A?1=[[a,b],[c,d]]。则

[[1,2],[3,4]][[a,b],[c,d]]=[[1,0],[0,1]]

展开得：

a+2c=1

b+2d=0

3a+4c=0

3b+4d=1

解此方程组可得a=-2,b=1,c=3/2,d=-1/2。故A?1=[[-2,1],[3/2,-1/2]]。

适用场景与优缺点：此方法仅适用于极低阶（主要是二阶）或结构极其特殊的矩阵。其优点是直观易懂，直接源于定义；缺点是计算量随矩阵阶数的增加呈指数增长，在高阶矩阵面前几乎无能为力。

2.2伴随矩阵法

伴随矩阵法是一种基于行列式和代数余子式的解析求逆方法，它给出了逆矩阵的一个明确表达式。

原理：n阶方阵A可逆的充分必要条件是det(A)≠0，且其逆矩阵为

A?1=(1/det(A))*A*

其中A*为矩阵A的伴随矩阵。伴随矩阵A*是A的代数余子式矩阵的转置矩阵。代数余子式A_ij=(-1)^(i+j)*M_ij，M_ij为元素a_ij的余子式（即划去A的第i行第j列后剩余元素构成的n-1阶行列式的值）。

步骤：

1.计算矩阵A的行列式det(A)。若det(A)=0，则A不可逆，停止计算。

2.计算A的所有元素的代数余子式A_ij。

3.将代数余子式按原矩阵元素的位置排列，得到代数余子式矩阵。

4.将代数余子式矩阵转置，得到伴随矩阵A*。

5.用伴随矩阵A*乘以1/det(A)，即得A?1。

例题：仍以求A=[[1,2],[3,4]]的逆矩阵为例。

det(A)=(1)(4)-(2)(3)=4-6=-2≠0，故A可逆。

A_11=(-1)^(1+1)*M_11=4，A_12=(-1)^(1+2)*M_12=-3

A_21=(-1)^(2+1)*M_21=-2，A_22=(-1)^(2+2)*M_22=1

代数余子式矩阵为[[4,-3],[-2,1]]，伴随矩阵A*为其转置，仍为[[4,-2],[-3,1]]（二阶矩阵转置后代数余子式矩阵与伴随矩阵相同）。

故A?1=(1/-2)*[[4,-2],[-3,1]]=[[-2,1],[3/2,-1/2]]，与定义法结果一致。

适用场景与优缺点：伴随矩阵法给出了逆矩阵的解析表达式，理论意义重大。对于阶数较低（如二阶、三阶）的矩阵，计算尚属可行，尤其二阶矩阵，用伴随矩阵法公式（[[-d,b],[c,-a]]/(ad-bc)）非常便捷。但其缺点也十分突出：计算量巨大，需要计算一个n阶行列式和n2个n-1阶行列式（代数余子式），当n≥4时，手工计算变得异常繁琐且容易出错，因此在实际应用中，高阶矩阵通常不采用此法。

2.3初等行变换法（高斯-若尔当