高等数学第十章曲线积分.pptVIP

第1页，共41页，星期日，2025年，2月5日一、对弧长的曲线积分的概念1．定义2．物理意义表示线密度为的弧段的质量.第2页，共41页，星期日，2025年，2月5日二、对弧长的曲线积分的性质1．线性性质：若,则5.奇偶对称性：2．可加性：3．的弧长：4.单调性：设在上，则关于x轴对称，为y的奇函数关于x轴对称，为y的偶函数第3页，共41页，星期日，2025年，2月5日三、对弧长的曲线积分的计算方法方法：化为定积分计算（注：下限上限）（1）参数方程：若则（2）直角坐标：若则（3）极坐标：若;则“描述代入”法第4页，共41页，星期日，2025年，2月5日（4）参数方程：若则注：被积函数可用积分曲线方程化简！四、对弧长的曲线积分的应用1．几何应用求曲线的弧长2．物理应用质量质心转动惯量第5页，共41页，星期日，2025年，2月5日一、对坐标的曲线积分的概念1．定义2．物理意义变力沿所作的功.对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）第6页，共41页，星期日，2025年，2月5日二、对坐标的曲线积分的性质若（方向不变），则设是的反向曲线弧，则2.方向性：1．可加性：3.奇偶对称性：关于x轴对称，为y的偶函数关于x轴对称，为y的奇函数关于y轴对称，为x的偶函数关于y轴对称，为x的奇函数第7页，共41页，星期日，2025年，2月5日三、对坐标的曲线积分的计算方法（化为定积分计算）（1）参数方程：1．直接计算法：设从变到;则设;从变到;则“描述代入”法第8页，共41页，星期日，2025年，2月5日设从变到;则（2）直角坐标：设从变到;则注:下限起点上限终点第9页，共41页，星期日，2025年，2月5日3．利用积分与路径无关的条件计算法与路径无关─单连域.—单连域.2．格林（Green）公式计算法（注意使用条件！）（这里为区域的正向边界曲线)，为区域内任意闭曲线.第10页，共41页，星期日，2025年，2月5日四、两类曲线积分之间的联系其中为有向曲线弧在点处的切向量的方向角.五、对坐标的曲线积分的解题方法第11页，共41页，星期日，2025年，2月5日No积分与路径无关封闭取特殊曲线转化为定积分积分与路径有关封闭确定D应用Green公式对L补上特殊曲线在封闭曲线上应用Green公式转化为定积分YesNoYesNoYes解题方法流程图第12页，共41页，星期日，2025年，2月5日由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数及积分曲线然后判断等式是否成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域内与积分路径无关.此时的计算方法是，看积分曲线是否封闭.若为封闭曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零;若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方法是，看积分曲线是否封闭.若为封闭曲线,则直接利用若不是封闭曲线,通常采用取特殊路径的方法（如取平行于坐标轴的折线)来计算所给积分，即第13页，共41页，星期日，2025年，2月5日Green公式计算所给积分，即若